I denne opgave skal I vende tilbage til data fra opgave 3.3 vedrørende position af pointer, når denne flyttes fra et startpunkt og ind i et målområde. Der er 269 observationer målt relativt til midtpunkt af målområdet (enheden angives i figuren som "pixels"). En naturlig hypotese er, at position af pointer er symmetrisk omkring nul svarende til midtpunktet af målområdet. Data ligger i filen Position.txt. Indlæs data fra filen Position.txt. Denne opgave kan nu formuleres kort som følger. Opstil en statistisk model for positionsmålingerne, lav inferens for parametrene i modellen og overvej en hypotese, om at fordelingen af positionen er symmetrisk omkring nul. Skrevet ud bliver dette til følgende spørgsmål.

1. Undersøg grafisk, om positionen kan beskrives med en normalfordeling via et qqplot (sammenlign med resultatet i opgave 3.3). Opskriv en statistisk model for data.
2. Lav en tabel med skøn og 95%-konfidensinterval for middelværdien, variansen og spredningen i en normalfordelingsmodel.
3. Overvej, om data er i overenstemmelse med teorien om, at fordelingen af positionen er symmetrisk omkring nul.
4. Målområdet for pointer er intervallet $[-4.5,4.5].$ Beregn, ud fra den estimerede normalfordeling, sandsynligheden for at ramme uden for målområdet.

Luk igen

Som i opgave 1.5 skal I her se på et eksperiment, hvor personer skal flytte pointeren på en computerskærm via musen. Figuren i opgave 1.5 viser opstillingen, hvor pointeren skal flyttes fra område $A$ til område $B,$ og tiden det tager at flytte pointeren registreres. I denne opgave skal I betragte data fra 12 personer. For hver person er der en tid for et eksperiment med $(D,W)=(765,255)\,\text{mm}$ og for et eksperiment med $(D,W)=(1275,425)\,\text{mm},$ hvor $D$ er afstanden mellem områderne $A$ og $B,$ og $W$ er bredden af målområdet $B,$ se figur i opgave 1.5. Den enkelte værdi for en person er et gennemsnit over en række gentagne flytninger af pointeren. Ifølge Fitts lov er tidsforbruget især bestemt af forholdet $D/W,$ som er lig med 3 i begge de to kombinationer ovenfor. Data, som er stillet til rådighed af Jörg Müller, fremgår af følgende tabel, hvor også differens mellem de to målinger for hver person er angivet. $$\begin{array}{c ccc}\hline \text{Person} & (D,W)=(765,255)\,\text{mm} & (D,W)=(1275,425)\,\text{mm} & \text{Differens} \\ \hline 1&0.377&0.426&0.049\\ 2&0.279&0.294&0.015\\ 3&0.542&0.587&0.045\\ 4&0.412&0.507&0.095\\ 5&0.469&0.514&0.045\\ 6&0.342&0.413&0.071\\ 7&0.423&0.425&0.002\\ 8&0.485&0.404&-0.081\\ 9&0.603&0.741&0.138\\ 10&0.442&0.507&0.065\\ 11&0.445&0.487&0.042\\ 12&0.474&0.526&0.052\\ \hline \end{array}$$ I denne opgave skal I ud fra de 12 differenser angive den viden, vi har om forskel i tidsforbruget mellem de to opsætninger $(D,W)=(765,255)$ og $(D,W)=(1275,425).$ Hvis der er systematisk forskel i tidsforbruget mellem de to opsætninger, tyder dette på, at Fitts lov ikke holder eksakt. Spredningen på differenserne siger både noget om variation i tidsforbruget fra gentagelse til gentagelse samt noget om en personafhængig forskel mellem de to opsætninger. Data findes i filen DWpointer.csv, som er organiseret i 12 rækker og tre søjler.

1. Indlæs data, og lav en figur, hvor tidsforbruget ved $(D,W)=(1275,425)$ tegnes op mod tidsforbruget ved $(D,W)=(765,255).$ Indtegn identitetslinjen i figuren. Prøv at beskrive i ord, hvad figuren viser om forskel i tidsforbrug mellem de to opsætninger.
2. Betragt nu de 12 differenser i tidsforbruget. Lav et qqplot af data, og opskriv den statistiske model, hvor differensen er normalfordelt.
3. Lav et test for hypotesen, at middelværdien af differensen er nul, svarende til hypotesen, at Fitts lov holder. Lav dernæst et 95%-konfidensinterval for middelværdien af differensen. Hvad bliver konklusionen af disse udregninger ?

Når I laver et $t$-test, for at middelværdierne af differenserne er nul, kaldes dette et parret $t$-test: observationerne fra de to opsætninger er parret, ved at der er målt på den samme person. Inden for en bestemt opsætning er der stor variation i tidsforbrug mellem personer, og det kan være svært at se en forskel mellem to opsætninger, hvis vi forestiller os et alternativt eksperiment, hvor 12 personer har afprøvet opsætningen med $(D,W)=(765,255),$ og 12 andre personer har afprøvet opsætningen med $(D,W)=(1275,425).$ I kan se dette ved at prøve at lave et two-sample $t$-test for data i denne opgave, hvor det ene observationssæt er data fra opsætningen med $(D,W)=(765,255),$ og det andet observationssæt er data for opsætningen med $(D,W)=(1275,425)$ (two-sample $t$-test skal I arbejde med i den næste opgave).

Luk igen

Som i den foregående opgave skal I se på tidsforbruget ved at flytte pointeren på computerskærmen fra et område $A$ til et område $B$ eller fra område $B$ til område $A.$ I skal se på, om der er forskel i tidsforbruget for to personer. I filen ToPersoner.csv ligger der 28 tidsmålinger (målt i sekunder) for person 1 og 26 tidsmålinger for person 2. Filen har to søjler, hvor første søjle angiver person, og den anden søjle angiver tidsforbruget målt i sekunder.

1. Indlæs data og dan vektorerne person og tid ud fra søjlerne i de indlæste data. Dan dernæst to datasæt tidP1 og tidP2 med værdierne fra tid hørende til henholdsvis person 1 og person 2 (se eventuelt opgave 1.4).
   Lav en figur med et qqplot for hvert af de to datasæt. Koden, til at lave flere qqplots i den samme figur, kan du se i kodevinduet i afsnit 4.8. Synes du, at tidsforbruget for hver af de to personer kan beskrives med en normalfordeling ?
   Lav også en figur med boxplot for hvert af de to datasæt. Flere boxplots i den samme figur kan laves som vist i kodevinduet i afsnit 4.8, men kan også laves med kommandoen boxplot(tid$\sim$person). Hvilke ligheder og forskelle mellem de to datasæt kan du se i denne figur ?
2. Opstil modellen, hvor hvert datasæt (tidP1 og tidP2) følger sin egen normalfordeling. Opsummer de to datasæt i form af en tabel, som for hvert datasæt indeholder antallet af observationer, gennemsnit, empirisk spredning og et 95%-konfidensinterval for middelværdien. Antallet af elementer i en vektor kan i R findes med funktionen length.
3. Opskriv hypotesen, at de to varianser er ens, og lav $F$-testet for ens varianser. Er det rimeligt at antage, at variansen af tidsforbruget er den samme for de to personer ?
4. Opstil nu modellen, hvor data er normalfordelt, og de to datasæt har hver sin middelværdi, men samme varians. Opstil hypotesen at de to middelværdier er ens, og lav et test af denne hypotese.
   Er det rimeligt at antage, at tidsforbruget har samme middelværdi for de to personer ?
5. Angiv et 95%-konfidensinterval for forskellen i middelværdi af tidsforbruget mellem person 1 og person 2.
   Synes du, at forskellen mellem de to middelværdier i denne opgave er stor (se begrebet effektstørrelse i eksempel 4.10.2) ?

Luk igen

I artiklen In the shades of the uncanny valley: An experimental study of human-chatbot interaction undersøges, hvordan forsøgspersoner påvirkes af at interagere med en chatbot, enten en simpel tekst-chatbot eller en chatbot, der oplæser beskederne. I artiklen betegnes de to situationer med Text og Avatar. Som et af målepunkterne i eksperimentet måles den gennemsnitlige puls af forsøgspersonerne: 16 personer i Text-gruppen og 15 personer i Avatar-gruppen. Data ligger i filen Chatbot.csv i form af to søjler, hvor første søjle angiver chatbotsituationen, og anden søjle er pulsen. Data i denne fil er simulerede på en sådan måde, at informationen i figur 8 i den ovennævnte artikel efterlignes.

1. Indlæs data fra filen Chatbot.csv. Lav to datasæt med puls svarende til grupperne Text og Avatar. Du skal i den samme figur lave et qqplot for begge datasæt.
   Synes du, at pulsen for hver chatbotsituation kan beskrives med en normalfordeling ?
   Lav en figur, der indeholder boxplot for de to chatbotsituationer. Hvilke ligheder og forskelle mellem de to datasæt kan du se i denne figur ?
2. Opstil modellen, hvor hvert datasæt følger sin egen normalfordeling. Opsummer de to datasæt i form af en tabel, som for hvert datasæt indeholder antallet af observationer, gennemsnit, empirisk spredning og et 95%-konfidensinterval for middelværdien.
3. Opstil hypotesen, at de to varianser er ens. Eftervis, at data strider mod at sige, at variansen på pulsen er den samme for Text-gruppen som for Avatar-gruppen.
4. Angiv et 95%-konfidensinterval for forskellen i middelværdi af pulsen mellem Text-gruppen og Avatar-gruppen.
   Synes du, at forskellen mellem de to middelværdier er stor ?
5. Prøv til sidst at betragte logaritmen til pulsen. Lav qqplots for at se, om disse data kan beskrives med en normalfordeling. Lav et test, for at varianserne er ens, og lav et 95%-konfidensinterval for forskel i middelværdi af logaritmen til pulsen.
   Oversæt det fundne konfidensinterval for forskel i middelværdi af logaritmen til pulsen til et 95%-konfidensinterval for forholdet mellem middelværdierne af pulsen, jævnfør underafsnit 4.13.3. Hvor mange gange større er middelværdien af pulsen for Avatar-gruppen i forhold til Text-gruppen ?

Luk igen

I skal i denne opgave lave en figur, der illustrerer standard deviation i forhold til standard error. Start med at dele plotvinduet op i to dele med ordren par(mfrow=c(1,2)).

1. Simuler $n=20$ observationer $x_1,\ldots,x_{20}$ fra en standard normalfordeling (benyt rnorm(20) til dette). Beregn den empiriske spredning $s,$ beregn skøn $\hat\mu=\bar x$ over middelværdien og standard error for middelværdiskønnet, $\text{sd}_s(\hat\mu).$
2. Lav en figur med kaldet boxplot(x,xlim=c(0,3),ylim=c(-3,3)), hvor $x$ er en vektor med de simulerede værdier.
3. Indsæt to lodrette linjestykker med yderpunkter henholdsvis $\hat\mu\pm s$ og $\hat\mu\pm s\big/\sqrt{n}.$ Disse skal placeres ud for $1.5$ og $2.0$ på førsteaksen. Dette kan gøres med funktionen errrobar omtalt under punktet Egne funktioner i R i afsnit 1.2:

   errorbar(c(1.5,2.0),c($\hat\mu,\hat\mu$),lower,upper)

   hvor lower=c($\hat\mu$-s,$\hat\mu$-s/sqrt(n)), og upper er tilsvarende med plus i stedet for minus. Indsæt endelig et vandret linjestykke til at markere værdien af $\hat\mu.$
4. Gentag ovenstående simulering og tegning med $n=200$ observationer. Hvilke dele skal ligne hinanden i de to tegninger, og hvilke skal ikke ?

Luk igen