I de tre foregående afsnit omkring sammenligning af to normalfordelte observationssæt blev alle beregningerne lavet ved at bruge R som en lommeregner. I afsnittet her vil beregningerne blive lavet på mere simpel vis med avancerede funktioner indbygget i R. Jeg har i de foregående afsnit indført to tests af hypotesen om ens middelværdier i to normalfordelte populationer. Et test ($t$-testet) i situationen hvor varianserne er ens og et andet (Welchs test), når varianserne i de to grupper er forskellige. Hvorfor bruger vi to test i stedet for blot at nøjes med testet, hvor det ikke antages, at varianserne er ens ? De fleste vil nok bruge $t$-testet, hvis baggrundsviden gør, at man formoder de to varianser er ens. Fortolkningen af et konfidensinterval for forskel i middelværdierne bliver nemmere, og for meget små stikprøvestørrelser ($n_1,n_2$) vil testet bedre kunne opdage en forskel end Welchs test. Det sidste kan aflæses i, at konfidensintervallet for forskellen mellem de to middelværdier er smallere for $t$-testet end for Welchs test (dette skyldes, at antallet af frihedsgrader for $t$-testet er $n_1+n_2-2,$ som er større end eller lig med antallet af frihedsgrader $\mathit{df}_W$ i Welchs test). Omvendt, hvis man ikke tror, at varianserne er ens, skal man bruge Welchs test. Når varianserne er forskellige, ser man ofte en sammenhæng mellem middelværdi og spredning, således at spredningen approksimativt er proportional med middelværdien (når der måles på positive størrelser). I sådanne situationer opnår man typisk ens varianser, hvis man logaritmetransformerer data. Et eksempel på dette beskrives nedenfor. For at teste at middelværdierne er ens i to normalfordelinger, skal man enten bruge $t$-testet, hvis de to varianser er ens, eller også bruge Welchs test, hvis de to varianser ikke er ens. Begge de to tests udregnes med R-funktionen t.test. Hvis data ligger i to vektorer x1 og x2 bliver kaldet

t.test(x1,x2,var.equal=TRUE)$\quad$ hvis de to varianser er ens,

t.test(x1,x2,var.equal=FALSE)$\quad$ hvis de to varianser er forskellige,

Output indeholder $t$-tesstørrelsen (statistic), antallet af frihedsgrader (parameter) og $p$-værdien (pvalue) for test af hypotesen, om at de to middelværdier er ens. Desuden angives et 95%-konfidensinterval for forskellen i middelværdi (conf.int), det vil sige for parameteren $\delta=\mu_1-\mu_2.$ Gå nu tilbage til Eksempel 4.10.2 og Eksempel 4.11.2 og gentag beregningerne ved hjælp af t.test.

4.13.1 Bruge t.test til at teste to middelværdier ens

I Statistisk Model 4.9.1 med to normalfordelte observationssæt kan man lave $F$-testet for hypotesen om ens varianser med R-funktionen var.test. Hvis data ligger i to vektorer x1 og x2 bliver kaldet

var.test(x1,x2)

I output kan man finde $F$-testtørrelsen (statistic), de tilhørende frihedsgradsantal (parameter), og $p$-værdien (p.value). Der angives også et 95%-konfidensinterval for forholdet mellem de to variansparametre $\sigma_1^2/\sigma_2^2.$ Gå nu tilbage til Eksempel 4.12.3, og find de beregnede værdier der i output fra et kald af vartest.

4.13.2 Bruge var.test til at teste to varianser ens

I eksemplerne 4.11.2 og 4.12.3 så vi, at tidsforbruget ved at skrive en SMS-tekst både havde større middelværdi og større varians ved brug af tripelkodende mobil i forhold til en smartphone. Dette er ikke helt atypisk, når data vedrører en positiv størrelse (her tidsforbrug). I sådanne situtioner vil der ofte ske det, at hvis data logaritmetransformeres, vil der efterfølgende være større lighed mellem varianserne. Lad os betegne logaritmen til tidsforbruget med henholdsvis $\text{logSM}_{i}$ og $\text{logTR}_{i}$ for den $i$'te prøve i de to grupper (sm: smartphone, tr: tripelkodende mobil). Vi betragter Statistisk Model 4.9.1, her skrevet som $$\begin{aligned} \text{LogSM}_i & \sim N(\nu_1,\tau_1^2),\enspace i=1,\ldots,27, \\ \text{LogTR}_i & \sim N(\nu_2,\tau_2^2),\enspace i=1,\ldots,33,\\ & (\nu_1,\nu_2,\tau_1,\tau_2)\in \mathbf{R}^2\times\mathbf{R}_+^2, \end{aligned}$$ hvor $\nu_j$ er middelværdien af logaritmen til tidsforbruget. Man kan matematisk vise sammenhængen $\mu_j=\exp(\nu_j+\frac{1}{2}\tau_j^2),$ hvor $\mu_j$ er middelværdien af tidsforbruget. I kodevinduet nedenfor laves der qqplots for de logaritmetransformerede data, og disse giver ikke anledning til at forkaste modellen. Først undersøges hypotesen om samme varians i de to grupper for de logaritmetransformerde værdier. Beregningen er vist i kodevinduet nedenfor: $F$-teststørrelsen er 0.519, og $p$-værdien (to gange sandsynlighed for værdi mindre end 0.519) fra en $F(26,32)$-fordeling er 0.090. Da $p$-værdien er over 0.05, siger vi, at data ikke strider mod samme varians på logaritmeskalaen.I kodevinduet laves der også et 95%-konfidensinterval for forskel i middelværdi, $\delta=\nu_{\text{sm}}-\nu_{\text{tr}},$ under antagelsen om samme varians. Konfidensintervallet er baseret på $t(58)$-fordelingen, og bliver $[-0.364,\,-0.095].$ Vi kan oversætte dette konfidensinterval til et konfidensinterval for forholdet mellem middelværdierne på den oprindelige skala. For data omkring tidsforbruget for at skrive en SMS-tekst giver dette intervallet $[e^{-0.364},\,e^{-0.095}]=[0.69,\, 0.91].$ Her står, at med 95% sikkerhed er middelværdien for tidsforbruget med smartphone mellem 69% og 91% af middelværdien ved brug af tripelkodende mobil.

Beregninger i R

ForegåendeNæste