Hvis vi betragter $X\sim\text{binom}(n,p),$ er dette et specialtilfælde af multinomialmodellen, idet $(X,n-X)\sim\text{multinom}(n,(p,1-p)).$ I afsnit 2.1 blev likelihoodfunktionen $L(p)$ brugt til at finde et skøn over $p,$ idet vi brugte den værdi $\hat p,$ der gav maksimum af likelihoodfunktionen. Dette er illustreret i følgende figur med logaritmen til likelihoodfunktionen baseret på observationen 19 fra en $\text{binom}(25,p)$-fordeling. I afsnit 1.3 blev holdbarheden af hypotesen $p=p_0$ vurderet ved at se på, hvor langt $X$ ligger fra det forventede $np_0,$ eller ækvivalent hermed, hvor langt $\hat p=\frac{X}{n}$ ligger fra $p_0.$ Dette svarer til afstand markeret med blåt på førsteaksen i ovenstående figur. Vi kan imidlertid også bruge likelihoodfunktionen til at konstruere et test af hypotesen $p=p_0.$ Til dette betragtes forholdet $Q=L(p_0)/L(\hat p)$ (likelihood ratio teststørrelsen). Dette svarer til afstand markeret med rødt på andenaksen i figuren ovenfor med logaritmen til likelihoodfunktionen. Fordelen ved at bruge $Q$ er, at denne metode nemt kan generaliseres til mere komplekse situationer, hvilket vi vil gøre i næste afsnit for test af hypotese i multinomialmodellen. Per konstruktion ligger værdien af $Q$ mellem 0 og 1, og små værdier er kritiske for hypotesen. En lille værdi betyder, at sandsynligheden for det observerede er meget mindre under $p=p_0$ end under $p=\hat p.$ Traditionelt transformerer man $Q$ til $G=-2\log(Q),$ hvor det nu er store værdier, der er kritiske for hypotesen. Da $\hat p=X/n,$ får man $$Q=\frac{\binom{n}{X}p_0^X(1-p_0)^{n-X}} {\binom{n}{X}(\frac{X}{n})^X(1-\frac{X}{n})^{n-X}}= \frac{1} {(\frac{X}{np_0})^X(\frac{n-X}{n(1-p_0)})^{n-X}},$$ og dermed $$G=-2\log(Q)=2\Big( X\log\big(\frac{X}{np_0}\big)+(n-X)\log\big(\frac{n-X}{n(1-p_0)}\big)\Big).$$ Idet vi tænker på $(X,n-X)$ som multinomialfordelt, er $np_0$ og $n(1-p_0)$ de forventede antal i de to kasser under hypotesen $p=p_0.$ Ovenstående udtryk for $G$ kan derfor læses som 2 gange summen over kasser af det observerede antal ganget med logaritmen til det observerede antal divideret med det forventede antal. I næste afsnit genfinder vi dette udtryk mere generelt. Inden for geologi og fysik kan mange empiriske observationer beskrives ved en potenslov. Til illustration af dette er der i tabellen nedenfor angivet antallet af kratere på Mars i området mellem 0 og 15 graders bredde og 0 og 45 graders længde for fire størrelsesintervaller. Data er fundet fra Mars Crater Database (database as of 2020). $$\begin{array}{lccccc}\hline \text{Kassenummer} & 1 & 2 & 3 & 4 & \\ \text{Størrelsesinterval (km)} & 4-8 & 8-16 & 16-32 & 32-64 & \text{Total} \\ \text{Antal kratere} & 672 & 417 & 268 & 151 & 1508 \\ \hline \end{array}$$ Givet, at vi betragter 1508 kratere, er det naturligt at tænke på data i tabellen som et udfald fra en multinomialmodel, $$(A_1,A_2,A_3,A_4)\sim\text{multinom}(1508,(\pi_1,\pi_2,\pi_3,\pi_4)),\enspace \pi_j\geq 0,\enspace \pi_1+\pi_2+\pi_3+\pi_4=1.$$ Da bredden af størrelsesintervallerne fordobles fra det ene interval til det næste, kan teorien om en potenslov formuleres ved, at sandsynligheden for at falde i et interval skal være en fast værdi ganget på sandsynligheden for at falde i det foregående interval. Vi kan skrive dette på følgende vis, $$(\pi_1,\pi_2,\pi_3,\pi_4)= \frac{1}{1+\theta+\theta^2+\theta^3} (1,\theta,\theta^2,\theta^3),\enspace 0<\theta<1,$$ hvor vi per konstruktion har $\pi_1+\pi_2+\pi_3+\pi_4=1.$ En beskrivelse af potenslove til beskrivelse af kraterstørrelse kan findes i artiklen Power-Law Scaling of the Impact Crater Size-Frequency Distribution on Pluto. ForegåendeNæste