Jeg vil nu formulere en hypotese i multinomialfordelingen generelt.
Udgangspunktet er modellen
Hypotesen lægger begrænsninger på variationsområdet for
idet
Her er kendte funktioner, er en ukendt parameter,
der skal estimeres ud fra data, og kan variere i området
som indeholder et åbent område af
Det sidste udtrykker vi sprogligt på den måde,
at har frie parametre.
Under hypotesen betegnes den statistiske model med og man
kan enten sige, at vi ønsker at teste hypotesen, eller at vi ønsker
at teste reduktion fra model til model Som skøn over bruges den værdi, der
giver maksimum af likelihoodfunktionen :
hvor er givet i ligning (3.1.1). Vi kan nu beregne likelihood ratio teststørrelsen som er
forholdet mellem den maksimale værdi af likelihoodfunktionen
under model og den maksimale værdi af likelihoodfunktionen
under model Ved samme beregning som i
foregående afsnit finder
vi
og dermed
Her kaldes det forventede antal i kasse under hypotesen
(under model ).En lille værdi af betyder, at data beskrives meget dårligere under
model end under model Jo mindre værdi af jo mere kritisk
for hypotesen. Dette er det samme som, at jo større er, jo mere kritisk.
værdien for et test baseret på er derfor sandsynligheden
for ved gentagelse af eksperimentet at få en værdi af der er større
end eller lig med den faktisk observerede værdi af
-værdien kan ikke beregnes eksakt, og i stedet benyttes en approksimation
baseret på ki-i-anden-fordelingen, som I kender fra calculuskurset.
Hvis den stokastiske variabel er ki-i-anden fordelt
med frihedsgrader, skriver jeg
dette som . Sandsynligheden for at skrives som
og beregnes
i R med kommandoen pchisq(z,f).
Resultat 3.3.1.
(G-test)
Betragt multinomialmodellen
(model ) og
hypotesen
hvor har frie parametre (model ).
Betragt teststørrelsen
og lad være den observerede værdi af
teststørrelsen.
Hvis alle de forventede er større end
eller lig med 5, har vi approksimativt
Beviset for dette resultat er ikke nemt. Intuitivt bygger det på
den centrale grænseværdisætning (se afsnit 2.4)
og en andenordens taylorudvikling
af likelihoodfunktionen. Antallet af frihedsgrader
i -fordelingen er generelt
hvor og er antallet af frie parametre
i henholddsvis model og model
I model har vi bindingen, at
hvorfor antallet af frie parametre er Resultatet ovenfor er første gang, vi støder på -fordelingen
i dette kursus. For at I kan have en fornemmelse
for denne fordeling, nævner jeg lige, at hvis er
uafhængige standard normalfordelte variable, så har
en fordeling med frihedsgrader.
Eksempel 3.3.2.
(Potenslov for kraterstørrelse)
Vi vender tilbage til data omkring
størrelsen af kratere på Mars i foregående afsnit,
og laver -testet
for hypotesen om en potenslov beskrevet der. Først skal vi finde et skøn over
parameteren hvor
Likelihoodfunktionen for multinomialmodellen
med som angivet bliver
For at finde hvor denne funktion har maksimum, skal man løse en
tredjegradsligning, eller benytte en numerisk søgerutine. I
det følgende skjulte kodevindue laves fire figurer med
logaritmen til likelihoodfunktionen, og ud fra disse kan vi se,
at maksimum opnås for omkring
I det følgende kodevindue vises funktionen
, hvor variationsområdet for
snævres ind fra den ene figur til den næste.
Nu beregnes de forventede antal som
Dette giver følgende tabel
(forventede er afrundet til n decimal).
Da alle de forventede er større end eller lig med 5, beregner
vi teststørrelsen og den approksimative -værdi fra en
-fordeling med frihedsgrader. Ved beregning af
antal frihedsgrader benyttes, at multinomialmodellen her
deler op i 4 kasser, og den hypotese, der testes, har 1 parameter
(nemlig ). Beregningen i kodevinduet nedenfor giver
og en -værdi på 0.66. Da -værdien er
langt over , konkluderer vi, at disse data ikke strider mod
hypotesen om en potenslov til beskrivelse af størrelsesfordelingen
af kratere på Mars.
I det følgende kodevindue tegnes tætheden for en
fordeling, og 95%-fraktilen
markeres med en lodret streg. Fraktilen angiver
punktet, hvor 95% af sandsynligheden i fordelingen
ligger til venstre for punktet og 5% ligger til højre
for punktet. Prøv at køre koden med forskellige valg af
antallet af frihedgrader
Prøv også i kodevinduet at beregne sandsynligheden
for at ligge til højre for 5.99 i en -fordeling
med 2 frihedsgrader.