I eksemplet omkring evapotranspirationen fra grønne tage i foregående afsnit så vi at interaktionen mellem taethed og hoejde involverer tre parametre. Generelt i den tosidede variansanalysemodel, Statistisk Model 6.6.3, fjernes $km-(k+m-1)=(k-1)(m-1)$ parametre, når vi går fra den fulde model til den addititve model, hvor $k$ og $m$ er antallet af niveauer i de to faktorer. Hvordan laver vi et test for denne reduktion ? Ligesom i den ensidede variansanalysemodel skal varians "mellem grupper" sammenlignes med varians "inden for grupper". Jeg beskriver nu testet i en meget generel ramme. En generel lineær normal model er på formen: $$M:\enspace X_i\sim N\big(\xi_i,\sigma^2\big),\enspace i=1,\ldots,n,\enspace (\xi_1,\ldots,\xi_n)\in L(M),$$ hvor $L(M)$ er et lineært underrum af $\mathbf{R}^n.$ Det sidste betyder blot, at der findes et $k$ og faste vektorer $v_1,\ldots,v_k$, $v_j=(v_{j1},\ldots,v_{jn}),$ således at vektoren af middelværdier kan skrives på formen $$(\xi_1,\ldots,\xi_n)=\theta_1v_1+\theta_2v_2+\cdots+ \theta_kv_k, \tag{6.7.1}$$ hvor $(\theta_1,\ldots,\theta_k)$ er ukendte parametre, som vi ønsker at estimere ud fra data. Dette kan virke noget abstrakt, men tænk på følgende to eksempler. For to grupper af observationer med hver sin middelværdi, hvor gruppe 1 kommer først, kan vi skrive $$(\xi_1,\ldots,\xi_n)=\mu_1(1,1,\ldots,1,0,0,\ldots,0)+ \mu_2(0,0,\ldots,0,1,1,\ldots,1),$$ eller for den simple regressionsmodel, kan vi skrive $$(\xi_1,\ldots,\xi_n)=\alpha(1,1,\ldots,1)+ \beta(t_1,t_2,\ldots,t_n).$$ I det generelle $F$-test ønsker vi at teste reduktionen fra en model $M_1$ til en undermodel $M_2,$ hvor $L(M_2)$ er et underrum af $L(M_1).$ I praksis betyder det sidste typisk, at man tester en hypotese om, at nogle angivne parametre er nul. Output fra kaldet af anova er en testtabel med 2 rækker og 7 søjler: $$\begin{array}{rrrrrrr} \hline & \text{Res.Df} & \text{RSS} & \text{Df} & \text{Sum of Sq} & \text{F} & \text{Pr(>F)} \\ \hline 1 & - & - & & & & \\ 2 & - & - & - & - & - & -\\ \hline \end{array}$$ Første række vedrører model $M_2$ og anden række model $M_1$. Søjlen RSS indeholder $\mathit{SSD}(M)$ for de to modeller, og Res.Df de tilhørende frihedsgrader. Indholdet i anden række i søjlen Df er differensen mellem de to værdier under Res.Df, og Sum of Sq er differensen mellem de to værdier under RSS. De to sidste søjler indeholder selve $F$-teststørrelsen og den tilhørende $p$-værdi. Måske har I bemærket, at i output fra summary(lm(modelformel)) står der til sidst "F-statistics:". Hvis modelformel ikke indeholder "-1", er dette $F$-testet fra kommandoen anova(lm(x$\sim$1),lm(modelformel)), hvor $x$ er vektoren med responsværdier. Selvom slutmodellen i dette test altid er modellen, hvor alle de stokastiske variable har den samme middelværdi, vil $p$-værdien også afhænge af startmodellen givet gennem modelformel. I kan se dette konkret i output fra det skjulte kodevindue i eksempel 6.6.6. ForegåendeNæste