Hvis vi betragter $X\sim\text{binom}(n,p),$ er dette et specialtilfælde af multinomialmodellen, idet $(X,n-X)\sim\text{multinom}(n,(p,1-p)).$ I afsnit 2.1 blev likelihoodfunktionen $L(p)$ brugt til at finde et skøn over $p,$ idet vi brugte den værdi $\hat p,$ der gav maksimum af likelihoodfunktionen. Dette er illustreret i følgende figur med logaritmen til likelihoodfunktionen baseret på observationen 21 fra en $\text{binom}(34,p)$-fordeling. I afsnit 1.2 blev holdbarheden af hypotesen $p=p_0$ vurderet ved at se på, hvor langt $X$ ligger fra det forventede $np_0,$ eller ækvivalent hermed, hvor langt $\hat p=\frac{X}{n}$ ligger fra $p_0.$ Dette svarer til afstand markeret med blåt på førsteaksen i ovenstående figur. Vi kan imidlertid også bruge likelihoodfunktionen til at konstruere et test af hypotesen $p=p_0.$ Til dette betragtes forholdet $Q=L(p_0)/L(\hat p)$ (likelihood ratio teststørrelsen). Afstanden markeret med rødt i figuren ovenfor svarer til $-\log(Q),$ hvor en stor værdi svarer til en lille værdi af $Q,$ og en lille værdi svarer til en værdi af $Q$ tæt på 1. Fordelen ved at bruge $Q$ er, at denne metode nemt kan generaliseres til mere komplekse situationer, hvilket vi vil gøre i næste afsnit for test af hypotese i multinomialmodellen. Per konstruktion ligger værdien af $Q$ mellem 0 og 1, og små værdier er kritiske for hypotesen. En lille værdi betyder, at sandsynligheden for det observerede er meget mindre under $p=p_0$ end under $p=\hat p.$ Traditionelt transformerer man $Q$ til $G=-2\log(Q),$ hvor det nu er store værdier, der er kritiske for hypotesen. Da $\hat p=X/n,$ får man $$Q=\frac{\binom{n}{X}p_0^X(1-p_0)^{n-X}} {\binom{n}{X}(\frac{X}{n})^X(1-\frac{X}{n})^{n-X}}= \frac{1} {(\frac{X}{np_0})^X(\frac{n-X}{n(1-p_0)})^{n-X}},$$ og dermed $$G=-2\log(Q)=2\Big( X\log\big(\frac{X}{np_0}\big)+(n-X)\log\big(\frac{n-X}{n(1-p_0)}\big)\Big).$$ Idet vi tænker på $(X,n-X)$ som multinomialfordelt, er $np_0$ og $n(1-p_0)$ de forventede antal i de to kasser under hypotesen $p=p_0.$ Ovenstående udtryk for $G$ kan derfor læses som 2 gange summen over kasser af det observerede antal ganget med logaritmen til det observerede antal divideret med det forventede antal. I næste afsnit genfinder vi dette udtryk mere generelt. Når nanopartikler bruges i produkter vil partiklerne med tiden spredes i naturen og kan påvirke økosystemer negativt. Til at undersøge betydningen af sølvnanopartikler, AgNP, har man lavet et eksperiment, hvor 90 embryoer af zebrafisk befinder sig i en opløsning med $0.4\,\mu\text{g/ml}$ nanopartikler. Tabellen nedenfor viser, hvor mange zebrafisk der dør i forskellige tidsintervaller (målt i timer). $$\begin{array}{lccccc} \hline \text{Tidsinterval} & 0-24 & 24-48 & 48-72 & 72-96 & 96- \\ \text{Antal Døde} & 33 & 15 & 9 & 12 & 21 \\ \hline \end{array}$$ Det er naturligt at tænke på data i tabellen som et udfald fra en multinomialmodel, $$(A_1,A_2,A_3,A_4,A_5)\sim \text{multinom}(90,(\pi_1,\pi_2,\pi_3,\pi_4,\pi_5)),\enspace \pi_j\geq 0,\enspace \pi_1+\cdots+\pi_5=1.$$ Hvis der er samme dødsrate gennem de 96 timer, hvor eksperimentet løber, er det relevant at betragte hypotesen $$\pi_1=\theta,\enspace \pi_2=(1-\theta)\theta,\enspace \pi_3=(1-\theta)^2\theta,\,\pi_4=(1-\theta)^3\theta,\, \pi_5=(1-\theta)^4,$$ hvor $\theta$ er den teoretiske andel, der dør i løbet af 24 timer. For, som et eksempel, at dø i tidsintervallet 24-48 timer skal man ikke dø i de første 24 timer (sandsynlighed $1-\theta$) og dø i den anden tidsperiode (sandsynlighed $\theta$), hvorfor sandsynligheden er $\pi_2=(1-\theta)\theta.$ Sandsynligheden for ikke at dø i nogen af de 4 første tidsperioder er $\pi_5=(1-\theta)^4.$ Hypotesen, beskrevet her, svarer til at sige, at antal tidsperioder til og med zebrafisken dør er geometrisk fordelt. En stokastisk variabel $X$ siges at være geometrisk fordelt med parameter $\theta,$ hvis $$P(X=x)=(1-\theta)^{x-1}\theta,\quad x=1,2,3,\ldots.$$ ForegåendeNæste