Hvis den stokastiske variabel $X$ er normalfordelt med middelværdi $\mu$ og spredning $\sigma,$ $X\sim N(\mu,\sigma^2),$ er tætheden givet ved $$f(x;\mu,\sigma)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\big(-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2\big),\enspace x\in\mathbf{R},\enspace (\mu,\sigma)\in \mathbf{R}\times\mathbf{R}_+. \tag{4.1.1}$$ Sandsynligheden for at ligge i et interval $(a,b]$ er givet ved $$P\big(a<X\leq b\big)=\int_a^b f(x;\mu,\sigma)\mathit{dx}.$$ Bemærk specielt, at dette viser $P(X=x)=0$ for enhver værdi $x$: for en kontinuert stokastisk variabel er enhver punktsandsynlighed lig med nul. Fordelingsfunktionen, det vil sige sandsynligheden for at ligge til venstre for et punkt, betegnes med $N_{\text{cdf}}(x;\mu,\sigma).$ Bemærk, at i fordelingsnotationen $N(\mu,\sigma^2)$ bruges variansen $\sigma^2,$ hvorimod i tætheden og fordelingsfunktionen bruges spredning $\sigma.$ Det sidste er for at være i overensstemmelse med notationen i python og MATLAB. Normalfordelingen med middelværdi $\mu=0$ og spredning $\sigma=1$ kaldes standard normalfordelingen. Der gælder følgende vigtige regneregler (disse er omtalt i jeres calculuskursus).

1. Hvis $X\sim N(\mu,\sigma^2),$ og $a$ og $b$ er givne tal, så vil $a+bX\sim N(a+b\mu,b^2\sigma^2).$ Specielt kan vi skrive $X=\mu+\sigma U,$ hvor $U\sim N(0,1).$
2. Hvis $X$ og $Y$ er normalfordelte og uafhængige, så vil også $X+Y$ være normalfordelt.
3. Hvis $U_1,\ldots,U_k$ er uafhængige og standard normalfordelte, så har den stokastiske variabel $U_1^2+\cdots+U_k^2$ en $\chi^2(k)$-fordeling.

På et intuitivt niveau kan vi forstå de to første regneregler ud fra den centrale grænseværdisætning (afsnit 2.4). Hvis $X$ er en sum af mange små bidrag, så er dette også tilfældet for $a+bX.$ Hvis både $X$ og $Y$ er summer af mange små led, så vil dette også gælde for summen af de to. I kodevinduet nedenfor vises tæthed og fordelingsfunktion for en normalfordeling. Desuden er 97.5%-fraktilen markeret, det vil sige punktet, hvor der ligger 97.5% sandsynlighed til venstre for og 2.5% sandsynlighed til højre for. Tætheden i en normalfordeling beregnes med funktionen norm.pdf i python (MATLAB: normpdf). Fordelingsfunktionen beregnes med norm.cdf (MATLAB: normcdf), og fraktiler findes med funktionen norm.ppf (MATLAB: norminv). Hvis man ikke angiver middelværdien og spredningen i kaldet til de tre funktioner, benytter python og MATLAB standard normalfordelingen. Prøv at køre kommandoerne, og prøv at ændre på $\mu$ og $\sigma.$ Bemærk, at figuren har to andenakser, hvor aksen til venstre angiver tæthed og aksen til højre angiver sandsynlighed.

MATLAB-kode

Prøv, om du kan beregne 95%-fraktilen i en standard normalfordeling. Beregn også 5%-fraktilen.

Svar: Fraktiler

ForegåendeNæste