I eksemplet omkring fremføring af medicin i kroppen i foregående afsnit vurderede vi, at der ikke så ud til at være interaktion mellem prodrug og tid. Vi lavede ikke et formelt test, eftersom hypotesen om additivitet svarer til at sætte fire parametre lig med nul, og dermed ikke kan aflæses fra parametertabellen. Generelt i den tosidede variansanalysemodel, her betegnet med $M_1,$ fjernes $d(M_1)-d(M_2)=km-(k+m-1)=(k-1)(m-1)$ parametre, når vi reducerer til den addititve model, her betegnet med $M_2,$ hvor $k$ og $m$ er antallet af niveauer i de to faktorer. Hvordan laver vi et test for denne reduktion ? Ligesom i den ensidede variansanalysemodel skal varians "mellem grupper" sammenlignes med varians "inden for grupper". Jeg beskriver nu testet i en meget generel ramme. En generel lineær normal model er på formen: $$M:\enspace X_i\sim N\big(\xi_i,\sigma^2\big),\enspace i=1,\ldots,n,\enspace (\xi_1,\ldots,\xi_n)\in L(M),$$ hvor $L(M)$ er et lineært underrum af $\mathbf{R}^n.$ Det sidste betyder blot, at der findes et $k$ og faste vektorer $v_1,\ldots,v_k$, $v_j=(v_{j1},\ldots,v_{jn}),$ således at vektoren af middelværdier kan skrives på formen $$(\xi_1,\ldots,\xi_n)=\theta_1v_1+\theta_2v_2+\cdots+ \theta_kv_k, \tag{8.7.1}$$ hvor $(\theta_1,\ldots,\theta_k)$ er ukendte parametre, som vi ønsker at estimere ud fra data. Dette kan virke noget abstrakt, men tænk på følgende to eksempler. For to grupper af observationer med hver sin middelværdi, hvor gruppe 1 kommer først, kan vi skrive $$(\xi_1,\ldots,\xi_n)=\mu_1(1,1,\ldots,1,0,0,\ldots,0)+ \mu_2(0,0,\ldots,0,1,1,\ldots,1),$$ eller for den simple regressionsmodel, kan vi skrive $$(\xi_1,\ldots,\xi_n)=\alpha(1,1,\ldots,1)+ \beta(t_1,t_2,\ldots,t_n).$$ I det generelle $F$-test ønsker vi at teste reduktionen fra en model $M_1$ til en undermodel $M_2,$ hvor $L(M_2)$ er et underrum af $L(M_1).$ I praksis betyder det sidste typisk, at man tester en hypotese om, at nogle angivne parametre er nul. Output fra kaldet af anova er en testtabel med to rækker og seks søjler: $$\begin{array}{rrrrrrr} \hline & \text{df\textunderscore resid} & \text{ssr} & \text{df\textunderscore diff} & \text{ss\textunderscore dif} & \text{F} & \text{Pr(>F)} \\ \hline 0 & - & - & & & & \\ 1 & - & - & - & - & - & -\\ \hline \end{array}$$ Første række vedrører model $M_2$ og anden række model $M_1$. Søjlen ssr indeholder $\mathit{SSD}(M)$ for de to modeller, og df$\text{\textunderscore}$resid de tilhørende frihedsgrader. Indholdet i anden række i søjlen df$\text{\textunderscore}$diff er differensen mellem de to værdier under df$\text{\textunderscore}$resid, og ss$\text{\textunderscore}$dif er differensen mellem de to værdier under ssr. De to sidste søjler indeholder selve $F$-teststørrelsen og den tilhørende $p$-værdi i anden række. Måske har I bemærket, at i output fra summary2 i python (eller i output fra fitlm i MATLAB) står der inde i øverste tabel "F-statistics". Dette er $F$-teststørrelsen, hvor modellen fra kaldet af estimationsfunktionen sammenlignes med modellen med konstant middelværdi, svarende til modelformlen respons$\sim$1. Selvom slutmodellen i dette test altid er den samme, vil $p$-værdien afhænge af startmodellen givet gennem kaldet til estimationsfunktionen. I kan se dette konkret i output fra det skjulte kodevindue i eksempel 8.6.1. ForegåendeNæste