Beskyttelse af metaloverflader mod korrosion er vigtigt, både ud fra et økonomisk synspunkt, men også ud fra funktionen af metallet. Billedet til venstre i figuren nedenfor viser Silver Bridge, efter at denne bro styrtede sammen i 1967 på grund af korrosion. I artiklen Chromeno-carbonitriles as corrosion inhibitors for mild steel in acidic solution: electrochemical, surface and computational studies undersøges tre organiske hæmmere, N-hydrospiro-chromeno-carbonitriles INH1, INH2 og INH3. Den kemiske struktur af INH er vist i figuren ovenfor. Deres evne til at hæmme korrosion ved forskellige koncentrationer måles gennem inhibition efficiency (IE), der defineres som $$\text{IE(c)}=100\cdot \frac{ R_{\text{ct}}(c)-R_{\text{ct}}(0) }{R_{\text{ct}}(c)},$$ hvor $R_{\text{ct}}(c)$ er charge transfer resistance ved koncentrationen $c$. Hæmningseffektiviteten er målt ved 5 forskellige koncentrationer, 0.10, 0.25, 0.50, 0.75 og 1.00 mM. Der findes forskellige modeller for sammenhængen mellem hæmningseffektivitet og koncentration. Artiklen nævner tre, Langmuir, Temkin og Freundlich, der beskrives gennem relationerne $$\frac{c}{\text{IE}}=\alpha_L+\beta_Lc,\quad \text{IE}=\alpha_T+\beta_T\log(c),\quad \log(\text{IE})=\alpha_F+\beta_F\log(c).$$ Forfatterne vælger at bruge Langmuirmodellen ud fra et plot af data med de tre relationer, specielt en figur hvor $c/\text{IE}$ afsættes mod koncentrationen $c$. Dette plot giver imidlertid et misvisende billede, eftersom koncentration optræder i begge koordinater. Et mere relevant plot fås ved at bruge Langmuirsammenhængen $1/\text{IE}=\beta_L+\alpha_L\frac{1}{c}$. I figuren nedenfor har jeg lavet plots svarende til Temkinrelationen og de to måder at vise Langmuirrelationen på (INH1: sort, INH2: rød, INH3: grøn). I analysen nedenfor vil jeg bruge Temkinrelationen til at vurdere ligheder og forskelle mellem de tre hæmmere. Her følger først en grundmodel, hvor hver gruppe bestemt af en faktor har sin egen lineære sammenhæng og sin egen varians. I eksemplet ovenfor vil faktoren kode for de tre hæmmere INH1, INH2 og INH3. Når vi forlanger, at der er samme varians i alle grupperne, får vi følgende model. Den mest simple modelformel til analyse af model $M_1$ er $x\sim G*t.$ For at forstå den parametrisering, som beregningsprogrammet bruger, skal man vide, at modelformlen omskrives til $x\sim G+t+G:t.$ Leddet $G$ giver den gruppebestemte skæring $\alpha_{G_i},$ og i overensstemmelse med den ensidede variansanalysemodel fra afsnit 8.4 bruges parametrene $\text{Intercept}=\alpha_1$ og forskellene $\alpha_g-\alpha_1,$ der betegnes G[T.g] (MATLAB: G\textunderscore g), $g=2,\ldots,k.$ Leddet $t$ giver regressionen for den første gruppe, det vil sige parameteren $\beta_1,$ og $G:t$ giver afvigelserne fra denne i de andre grupper, det vil sige $\beta_g-\beta_1,$ som betegnes G[T.g]:t (MATLAB:t:G\textunderscore g). Den følgende tabel giver alternative måder at skrive modelformlen på og de tilhørende parametriseringer i python. I rækkenavnene i tabellen skal $G$ læses som "gruppespecifik", og den sidste række er den simple lineære regressionsmodel fra afsnit 7.1 $$\begin{array}{lll} \text{Model} & \text{Modelformel} & \text{Parametre} \\ \text{G-regression} & G*t & (\alpha_1,\alpha_2-\alpha_1,\ldots,\alpha_k-\alpha_1, \beta_1,\beta_2-\beta_1,\ldots,\beta_k-\beta_1) \\ \text{G-regression} & G+t+G:t & (\alpha_1,\alpha_2-\alpha_1,\ldots,\alpha_k-\alpha_1, \beta_1,\beta_2-\beta_1,\ldots,\beta_k-\beta_1) \\ \text{G-regression} & G-1+G:t & (\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_k, \beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_k) \\ \text{G-regression} & G-1+t+G:t & (\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_k, \beta_1,\beta_2-\beta_1,\ldots,\beta_k-\beta_1) \\ \text{G-skæring} & G+t & (\alpha_1,\alpha_2-\alpha_1,\ldots,\alpha_k-\alpha_1, \beta) \\ \text{G-skæring} & G-1+t & (\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_k, \beta) \\ \text{G-hældning} & t+G:t & (\alpha, \beta_1,\beta_2-\beta_1,\ldots,\beta_k-\beta_1) \\ \text{G-hældning} & G:t & (\alpha,\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_k) \\ \text{Regression} & t & (\alpha,\beta) \end{array}$$ Blandt de to undermodeller af den gruppespecifikke regressionsmodel 8.9.2 er modellen med gruppespecifik skæring den vigtigste. Når $E(X_i)=\alpha_{G_i}+\beta t_i,$ har vi en "additiv struktur" af $G$ og $t.$ uanset hvilken undergruppe der betragtes, er forskellen i middelværdier mellem to værdier af den forklarende variabel $t$ den samme, og uanset hvilken værdi af den forklarende variabel der betragtes, er forskellen mellem to grupper den samme. Hvis man vil lave et $F$-test for reduktion fra gruppespecifikke regressionsmodel til modellen med en gruppespecifik skæring bruges Resultat 8.7.1 med de to modelformler x$\sim$G*t og x$\sim$G+t. $P$-værdien for dette test findes fra en $F(k-1,n-2k)$-fordeling. ForegåendeNæste