I den lineære regressionsmodel, $X_i\sim N(\alpha+\beta t_i,\sigma^2),$ $i=1,\ldots,n,$ fra Statistisk Model 7.1.2, kan vi teste hypotesen, at hældningen har en kendt værdi, $\beta=\beta_0$ mod alternativet $\beta\neq\beta_0,$ ved $t$ -teststørrelsen

$T=\frac{\hat\beta-\beta_0}{s_r/\sqrt{\mathit{SSD}_t}}= \frac{\hat\beta-\beta_0}{\text{std}_s(\hat\beta)} \sim t(n-2),\quad \text{std}_s(\hat\beta)=\frac{s_r}{\sqrt{\mathit{SSD}_t}},$ og vi kan teste hypotesen, at skæringen har en kendt værdi, $\alpha=\alpha_0$ mod alternativet $\alpha\neq\alpha_0,$ ved $t$ -teststørrelsen

$T=\frac{\hat\alpha-\alpha_0}{s_r\sqrt{\frac{1}{n}+ \frac{\bar t^2}{\mathit{SSD}_t}}}= \frac{\hat\alpha-\alpha_0}{\text{std}_s(\hat\alpha)} \sim t(n-2),\quad \text{std}_s(\hat\alpha)= s_r\sqrt{\frac{1}{n}+ \frac{\bar t^2}{\mathit{SSD}_t}}.$ I begge tilfælde beregnes $p$ -værdien som $2\cdot t_{\text{cdf}}(-|t_{\text{obs}}|,n-2),$ hvor $t_{\text{obs}}$ er den observerede værdi af $T.$

Et 95%-konfidensinterval for hældningen $\beta$ og for skæringen $\alpha$ beregnes som

$\hat\beta\pm t_0\cdot \text{std}_s(\hat\beta),\quad\quad\text{og}\quad\quad \hat\alpha\pm t_0\cdot \text{std}_s(\hat\alpha),$ hvor $t_0$ er 97.5%-fraktilen i en $t(n-2)$ -fordeling, $t_0=t_{\text{inv}}(0.975,n-2).$

Et 95%-konfidensinterval for variansen $\sigma^2$ eller for spredningen $\sigma$ beregnes som i Resultat 4.6.1, med $s^2$ i resultatet erstattet af $s_r^2$ og df i resultatet lig med $n-2.$

I Eksempel 7.2.2 omkring GLUase aktivitetens afhængighed af mængden af E.coli bakterier er det naturligt at overveje proportionalitet mellem aktivitet og bakteriemængde. For logaritmen til værdierne betyder dette en lineær sammenhæng, hvor hældningen er lig med 1. I modellen $\text{XGlu}_i\sim N(\alpha+\beta\cdot\text{tColi}_i,\sigma^2),$ $i=1,\ldots,98,$ tester vi derfor hypotesen $\beta=1.$ $T\text{-}$ teststørrelsen bliver, idet $\mathit{SSD}_{\text{tColi}}=117.0331,$

$t_{\text{obs}}=\frac{0.8494-1}{0.3094/\sqrt{117.0331}}=-5.2657,$ og den tilhørende $p$ -værdi er $2\cdot t_{\text{cdf}}(-5.2657,98-2)= 8.5\cdot 10^{-7}.$ Da $p$ -værdien er meget lille, bliver konklusionen, at data strider mod hypotesen om proportionalitet. Forfatterne i artiklen, hvor data stammer fra, diskuterer selv mulige grunde til afvigelsen fra en hældning på 1.

Lad os dernæst se på, hvor meget viden vi har om skæringen $\alpha$ ud fra de 98 målinger. Et 95%-konfidensinterval for $\alpha$ bliver på formen

$-3.8872\pm 1.9850\cdot 0.3094\cdot\sqrt{\frac{1}{98}+\frac{4.5337^2}{117.0331}} = \big[-4.15,\, -3.62\big],$ idet $t_0=t_{\text{inv}}(0.975,96)=1.9850$ og $\overline{tColi}=4.5337.$ Bredden på intervallet afspejler, at dataværdierne for tColi ligger fra 2.8 til 86.9, som er lidt væk fra nul ( $\alpha$ er linjens værdi i nul). I en situation som her vil skæringen $\alpha$ sjældent være af interesse i sig selv. Det vil være mere relevant at se på linjens værdi $\alpha+\beta t_*$ i et punkt $t_*$ inden for dataområdet for den forklarende variabel. Dette gør vi i afsnit 7.5 nedenfor.

Lad os slutte eksemplet af med at se på, hvor meget vi ved om spredningen $\sigma$ i den lineære sammenhæng. Skønnet over $\sigma$ er $s_r=0.3094,$ og et 95%-konfidensinterval for $\sigma$ er givet ved

$\Big[0.3094\cdot\sqrt{\frac{96}{125.0001}},\, 0.3094\cdot\sqrt{\frac{96}{70.7828}}\Big]= \big[0.271,\,0.360\big].$ Spredningen ligger altså med 95% sikkerhed i intervallet fra 0.27 til 0.36. Denne ret store værdi af spredningen kan skyldes stor måleusikkerhed i målingen af GLUase aktivitet og i målingen af mængden af E.coli bakterier, såvel som en biologisk variation i GLUase aktivitet for en given mængde af E.coli bakterier. En afvigelse på 0.31 på en $\log$ skala betyder en faktor 1.4 på GLUase aktiviteten. I afsnit 7.5 beskriver jeg, hvor velbestemt mængden af E.coli bakterier er ud fra en måling af GLUase aktiviteten.

Afsnit 7.3: Tests og konfidensintervaller