Afsnit 3.7: Estimation og Test

Under model kan estimation foretages for hver af de multinomialmodeller under brug af resultatet i underafsnit 3.1.1. Dette giver
Under model skal det fælles sæt sandsynligheder estimeres. Opstiller man likelihoodfunktionen, kan man indse, at estimaterne opnås ved at bruge
hvor er den 'te søjlesum og Igen kan vi bruge resultatet i underafsnit 3.1.1 og får
Vi kan nu beregne de forventede under model Idet er det forventede antal i kasse for population er denne
Denne formel kan læses som "rækkesum gange søjlesum divideret med den totale sum".

3.7.1 Test

For at lave et test for reduktion fra model til model bruges igen likelihood ratio teststørrelsen på formen hvor er forholdet mellem maksimum af likelihoodfuktionen under de to modeller:
og dermed
I ord kan vi sige dette, som at er 2 gange sum over celler af det observerede antal ganget med logaritmen til det observerede antal divideret med det forventede antal. Med celler mener vi indgangene i matricen med antallene
Resultat 3.7.1. (Homogenitetstest)
Betragt modellerne og som beskrevet i dette afsnit. Hvis alle de forventede er større end eller lig med 5, kan vi approksimativt beregne værdien for test af reduktion fra model til model baseret på den observerede værdi af teststørrelsen ved
Antallet af frihedsgrader følger den generelle regel med antallet af frie parametre i minus antallet af frie parametre i :

Illustration gennem python

Nedenstående kode viser eksplicit beregningen af de forventede antal. I skal ikke bruge denne kode når I regner opgaver, hvor I i stedet skal bruge koden nedenfor i eksempel 3.7.2. I kodevinduet her er Obs en matriks med følgende data:
Kør koden, og forklar, hvad de forskellige dele af output indeholder.

MATLAB-kode

Svar: Homogenitetstest

Vektoren rs indeholder rækkesummer, og vektoren cs indeholder søjlesummer for matricen obs. Matricen rscs har samme dimension som obs, og har i den 'te indgang produktet af den ''te rækkesum og den 'te søjlesum. Matricen ex indeholder derfor de forventede antal. Endelig indeholder gTest og pval henholdsvis -teststørrelsen og den tilhørende -værdi.

Eksempel 3.7.2. (Dannelse af biofilm)
Vi fortsætter med data omkring dannelse af biofilm for to bakterier fra Eksempel 3.6.1.
Først opstilles en statistisk model for data. Lad (Pathogenic,Faecal), (Weak, Moderate, Strong), være den stokastiske variabel, der angiver antal eksperimenter med biofilmdannelsen i kategori for bakterietype Vi benytter modellen
Under denne model ønsker vi at teste hypotesen om samme fordeling af biofilmkategori for de to bakterietyper,
Først findes de forventede antal under hypotesen som rækkesum gange søjlesum divideret med det totale antal. Dette giver følgende tabel (afrundet til to decimaler).
Dernæst beregnes -teststørelsen,
Da alle de forventede er større end fem (den mindste er 14.29), bruges -approksimationen til fordelingen af og vi får
Denne -værdi er langt over 0.05, hvorfor data ikke strider mod hypotesen om samme evne til dannelse af biofilm for de to bakterietyper. I artiklen, hvor data stammer fra, laves der to andre eksperimenter med andre vækstmedier for bakterierne, og her finder man en forskel mellem de to bakterietyper.

3.7.3 Beregning i python af homogenitetstest

Koden nedenfor kan bruges generelt når man indskriver sin datamatriks i variablen obs. I python indskrives hver række indenfor kantede parenteser, og rækker er adskilt af et komma. I MATLAB adskilles rækker af semikolon, og den enkelte række er ikke omsluttet af kantede parenteser. Output fra beregningen er en matriks med de forventede antal, -teststørrelsen og den tilhørende -værdi.

MATLAB-kode

ForegåendeNæste