Vi betragter data omtalt i foregående afsnit omkring fremføring af kræftmedicin i kroppen. Lad $\text{logFlu}_i$ være den stokastiske variabel, der angiver respons (logarimen af fluorescensmåling), og lad $\text{prodrug}_i$ og $\text{tid}_i$ være de tilhørende værdier for de to faktorer prodrug og tid, hvor prodrug har niveauerne "a" og "M", og tid har niveauerne "T1", "T2", "T3", "T4" of "T5". Lad os starte med den grundlæggende tofaktormodel 8.5.2, her skrevet som $$\text{logFlu}_i\sim N\big(\mu_{\text{prodrug}_i,\text{tid}_i}, \sigma^2_{\text{prodrug}_i,\text{tid}_i}\big),\enspace i=1,\ldots,50,$$ hvor hver gruppe bestemt af prodrug*tid har sin egen middelværdi og sin egen varians, og de 10 middelværdier og varianser kan variere frit. Først undersøges hypotesen om fælles varians: $$H:\enspace \sigma^2_{\text{a},\text{T1}}= \sigma^2_{\text{a},\text{T2}}=\cdots \sigma^2_{\text{M},\text{T4}}= \sigma^2_{\text{M},\text{T5}}.$$ Beregningerne nedenfor i python viser, at Bartlett teststørrelsen er 15.53, og den tilhørende $p$-værdi fra en $\chi^2(9)$-fordeling er 0.077. Data strider således ikke mod hypotesen om samme varians i de 10 grupper, og modellen ovenfor kan reduceres til den tosidede variansanalysemodel 8.5.3, her skrevet som $$\text{logFlu}_i\sim N\big(\mu_{\text{prodrug}_i,\text{tid}_i}, \sigma^2\big),\enspace i=1,\ldots,50,$$ hvor de 10 middelværdier og den fælles varians kan variere frit. Vi ønsker nu at teste reduktionen til den additive model 8.5.4 skrevet som $$\text{logFlu}_i\sim N\big(\zeta_{\text{prodrug}_i}+\eta_{\text{tid}_i}, \sigma^2\big),\enspace i=1,\ldots,50.$$ Vi har ovenfor lavet interaktionsplots, der viser overensstemmelse med den additive model. Parametertabellen hørende til den tosidede variansanalysemodel viser, at der er fire parametre, der vedrører interaktionen mellem prodrug og tid nemlig prodrug[T.a]:tid[T.T2],$\ldots,$ prodrug[T.a]:tid[T.T5]. For alle fire parametre er $p$-værdien langt over 0.05, hvilket også indikerer at data ikke strider mod den additive model. Da vi har fire $p$-værdier kan vi dog ikke bruge disse som et formelt test for reduktion til den additive model. I næste afsnit indføres et $F$-test for at teste hypotesen om additivitet, og for data her fås en $p$-værdi på 0.75. Konklusionen er derfor, at data ikke strider mod hypotesen om additivitet. Under den additive model kan vi lave et test, for at prodrug ingen effekt har, det vil sige hypotesen $\zeta_\text{M}=\zeta_\text{a}$, eller ækvivalent hermed teste reduktion fra den additive model til en ensidet variansanalysemodel, hvor kun faktoren tid indgår. Vi kan også formulere hypotesen som $\zeta_\text{a}-\zeta_\text{M}=0$, og et $t$-test for denne hypotese er automatisk en del af parametertabellen under den additive model. Fra parametertabellen ser vi, at $p$-værdien for dette test er mindre end $0.00005$ (den præcise værdi er $5.8\cdot 10^{-11}$, som I kan finde i output i kodevinduet i næste afsnit), og data strider derfor mod reduktion af modellen. Vi kan også fra parametertabellen se, at der en kraftig forskel mellem $\eta_{\text{T1}}$ og $\eta$ hørende til et af de andre tidspunkter ($p$-værdien for test af for eksempel $\eta_{\text{T2}}-\eta_{\text{T1}}=0$ er mindre en 0.00005). Et test for ingen effekt af Tid, $\eta_{\text{T1}}=\eta_{\text{T2}}=\cdots=\eta_{\text{T5}}$, kan laves med det generelle $F$-test i næste afsnit og giver en $p$-værdi på $9.0\cdot 10^{-17}$. Konfidensinterval for forskel i middelværdi mellem de to prodrugsystemer, $\zeta_{\text{a}}-\zeta_{\text{M}}$, er $[0.97,\,1.56],$ hvilket kan sammenholdes med, at skønnet over spredningen er 0.27, således at den standardiserede effektstørrelse er stor. Da dette er et konfidensinterval for logaritmen til målingen, er konfidensintervallet for forholdet mellem middelværdierne af de oprindelige målinger $[e^{0.97},\,e^{1.56}]=[2.6\, 4.8].$ For prodrugsystemet acac optages altså mellem 2.6 og 4.8 gange så meget som i Meacac systemet. Gå eventuelt tilbage og se, at dette stemmer overens med figuren i foregående afsnit.

8.6.2 Bartletts test og parametertabeller