I artiklen Monte Carlo Uncertainty Propagation with the NIST Uncertainty Machine vises et eksempel på usikkerhedsberegning i forbindelse med bestemmelse af gaskonstanten $R$ via tilstandsligningen $$R=\frac{P\big(\frac{V}{1000}\big)} {\big(\frac{m}{24.305}\big)(T+273.15)}, \tag{5.3.1}$$ i et eksperiment hvor magnesium reagerer med syre. Jeg vil bruge eksemplet her for at illustrere ophobningsloven og for at diskutere et par aspekter omkring de valgte usikkerheder i underafsnittet nedenfor. I formlen er $m$ massen af magnesium, som er målt til 1.000 gram på en vægt, der angiver usikkerheden til $\pm 0.001$ gram. Som diskuteret i underafsnittet nedenfor oversætter jeg denne usikkerhed til en standard error med værdien $0.00058.$ Temperaturen $T$ er målt til 27.2 grader celcius, og jeg har oversat oplysningerne om usikkerheden til en standard error på $0.22.$ Trykket $P$ findes med en digital probe, som stabilt viser 1.021 atm, og oplysningerne om usikkerheden har jeg oversat til en standard error på $0.00029.$ Endelig er volumet $V$ målt til 994.1 mL ved en serie målinger med standard error 0.3 mL.Vi kan opsummere målingerne i følgende skema. $$\begin{array}{lcc} \hline \text{Variabel} & \text{Skøn} & \text{Standard Error} \\ \hline \text{m (gram)} & 1.000 & 0.00058 \\ \text{P (atm)} & 1.021 & 0.00029 \\ \text{V (mL)} & 994.1 & 0.3 \\ \text{T (grader celcius)} & 27.2 & 0.22 \\ \hline \end{array}$$ hvor de fire målte værdier er stokastisk uafhængige. Skønnet over gaskonstanten bliver $$\hat R=\frac{\hat P\big(\frac{\hat V}{1000}\big)} {\big(\frac{\hat m}{24.305}\big)(\hat T+273.15)} = \frac{1.021\big(\frac{994.1}{1000}\big)} {\big(\frac{1.000}{24.305}\big)(27.2+273.15)} =0.082134,$$ med enheden $\text{atm}\cdot \text{L}\cdot \text{mol}^{-1} \text{K}^{-1}$ (konstanten 24.305 i formlen er den molare masse af magnesium med enheden g/mol). For at beregne standard error for skønnet over gaskonstanten bruger vi ophobningsloven med funktionen $R(m,P,V,T)$ givet i (5.3.1). Dette giver $$\begin{aligned} R_m&=-\frac{R}{m}, & \hat R_m &=-\frac{0.082134}{1.000}=-0.0821, \\ R_P&=\frac{R}{P}, & \hat R_P &=\frac{0.082134}{1.021}=0.0804, \\ R_V&=\frac{R}{V}, & \hat R_V &=\frac{0.082134}{994.1}=0.0000826, \\ R_T&=-\frac{R}{T+273.15}, & \hat R_T &=-\frac{0.082134}{27.2+273.15}=-0.000273. \end{aligned}$$ Ophobningsloven, kombineret med standard errors i tabellen ovenfor, giver nu (jeg trækker $0.082134^2$ uden for kvadratrodstegnet: 0.082134 fra tæller i de forskellige afledede af $R$) $$\begin{aligned} \text{std}_s(\hat R)&=0.082134\sqrt{ \Big(\frac{-0.00058}{1.000}\Big)^2+\Big(\frac{0.00029}{1.021}\Big)^2+ \Big(\frac{0.3}{994.1}\Big)^2+\Big(\frac{-0.22}{27.2+273.15}\Big)^2} \\ &=0.000084. \end{aligned}$$ Hvis jeg normaliserer leddene under kvadratrodstegnet så at summen er 1, bliver udtrykket $0.000084\sqrt{0.32+0.08+0.09+0.51}$. Dette viser, hvor stort et bidrag hvert af de fire led giver til den kvadrerede standard error. Specifikt kan vi se, at det er temperaturmålingen (det sidste led), der bidrager mest til usikkerheden i bestemmelsen af gaskonstanten, og vægtmålingen bidrager næstmest. Et approksimativt 95%-konfidensinterval for gaskonstanten kan nu beregnes som $$0.082134\pm 1.96\cdot 0.000084= [0.081969,\, 0.082299].$$ Overvej, om du synes eksperimentet har givet et tilfredsstillende resultat.

Svar: Konfidensinterval for gaskonstanten

Lad os starte med at betragte målingen af længden af en blyant som vist i figuren nedenfor. Spidsen af blyanten ser ud til at være ud for $56.5\,\text{mm}.$ Nogle skriver dette som $56.5\pm 0.5$, enten som udtryk for at vi er sikre på, at længden er mellem 56.0 og 57.0, eller $\pm 0.5$ kommer fra, at $0.5$ er halvdelen af linealens inddeling i millimeter. Hvis vi angiver længden med 1 decimal, vil det nok være realistisk, at vi kan lave en fejl på $0.2-0.3$ millimeter. Udover aflæsningsfejl bør man også overveje, om der kan være et fejlled fra, om blyantens anden ende er placeret ud for nul på linealen. For en måling som betragtet her, vil det være naturligt at beskrive målesituationen med en normalfordeling, hvor middelværdien er den sande længde af blyanten. Som en regel for spredningen vil vi bruge halvdelen af måleinstrumentets intervalinddeling divideret med $\sqrt{3}$, altså i vores tilfælde $0.5/\sqrt{3}=0.29.$ Dette kan synes mystisk og kommer fra en lidt forkert beskrivelse af situationen, idet nogle taler om en uniform fordeling på et interval af længde lig med afstanden mellem to markeringer på måleinstrumentet. Hvis man udregner spredningen i en sådan uniform fordeling, får man netop den ovenfor beskrevne værdi. I blyantstilfældet vil en spredning på omkring $0.3\,\text{mm}$ betyde, at vi i cirka 68 procent af tilfælde vil lave en fejl, der er mindre end 0.3 (og i cirka 95 procent af tilfælde lave en fejl mindre end $2\cdot0.3=0.6$). De fleste måleinstrumenter vil angive resultatet via et digital display, som vist i den nederste del af ovenstående figur. Hvad er usikkerheden på en sådan måling ? Der er flere elementer i dette. Ofte vil en prøve gå gennem forskellige forberedende trin inden målingen foretages, og den variation dette afstedkommer skal normalt inddrages. For en digital vægt kan et af trinnene her være placeringen af prøven på vægten, som i sig selv kan give variation. Dernæst kan det være, at måleinstrumentet ikke måler præcist. Dette vil typisk være angivet i en specifikation af måleinstrumentet. Endelig er der afrundingen i displayet. Hvis instrumentet for eksempel kun kan vise et ciffer, som i figuren ovenfor med værdien 16.2, vil den underliggende registrerede værdi kunne være alt mellem 16.15 og 16.25. Lad os her nøjes med at se på denne sidste afrunding. Det er svært, at beskrive afrundingen indenfor den ramme vi er vant til, nemlig at vi har en måling, der svinger stokastisk omkring en sand (ukendt) værdi. Her er målingen en ikke-stokastisk værdi beregnet ud fra den sande værdi ved afrunding. Det vi ønsker, er at repræsentere usikkerheden ved afrundingen gennem et stokastisk led, der så kan indgå i beregning af usikkerheden i afledte beregninger, hvor det afrundede tal indgår. Aflæsningen fra det digitale display skrives ofte som $16.20\pm 0.05$ (med tal fra figuren ovenfor), hvor nogle tolker dette som en uniform fordeling på intervallet $[16.15,\,16.25]$, og andre tolker det som et konfidensinterval. Jeg ønsker i stedet at repræsentere usikkerheden gennem en normalfordeling med en spredning $\sigma$. Hvis jeg tolker intervallet $[16.15,\,16.25]$ som et 95%-konfidensinterval, skal jeg vælge spredningen til cirka $\sigma=0.25$. Her vil der være sandsynlighed 0.05 for udfald længere ude end 0.05. Alternativt, hvis jeg ønsker at repræsentere en uniform fordeling på $[16.15,\,16.25]$ med en normalfordeling med samme spredning, skal jeg vælge spredningen som $\sigma=0.05/\sqrt{3}=0.029$ (samme beregning som i eksemplet ovenfor med målingen af blyantslængden). Her vil der være sandsynlighed 0.08 for udfald længere ude end 0.05. Et helt tredje foreslag kunne være, at normalfordelingen skal placere 50 procent af udfaldene i intervallet $[16.175,\,16.125]$ svarende til sandsynligheden fra den uniforme fordeling. Dette vil give $\sigma=0.037$. Her vil der være sandsynlighed 0.18 for udfald længere ude end 0.05. Det mest gængse valg ser ud til at være den halve intervallængde divideret med $\sqrt{3}$, hvor intervallængden er den mindste afstand mellem to visninger af måleapperatet. En diskussion af de forskellige muligheder for beskrivelse af fejlfordelingen kan findes på GUM (afsnit 4), hvor GUM står for Guides to the expression of uncertainty in measurement. Tilfældet med et digitalt måleapperat er i afsnit 4.3.7 af denne guide. Lad os nu vende tilbage til eksemplet først i dette afsnit og se på de valgte standard errors. Forfatteren tolker usikkerheden (der er angivet en præcision af måleapperatet) på målingen af massen af magnesium som en uniform fordeling på et interval af længde $0.002$. I overensstemmelse med diskussionen ovenfor bruger vi en normalfordeling med spredning $0.001/\sqrt{3}=0.00058$. Temperaturen $T$ er målt til 27.2 grader celcius, og fordelingen beskrives som en trekantsfordeling mellem 27 og 28 med toppunkt i 27.2. Igen er dette en smule svært at fortolke. Formodentligt er der tale om et termometer med en inddeling i hele grader, hvor iagttageren føler sig sikker på at målingen er mellem 27 og 28 og aflæser værdien til cirka 27.2. Det synes dog lige så relevant at bruge en symmetrisk fejlfordeling jævnfør diskussionen ovenfor med målingen af en blyants længde. Den foreslåede fordeling har en spredning på $\sqrt{0.84/18}\approx 0.22$, og det er denne spredning, jeg har brugt i simuleringen. Trykket $P$ findes med en digital probe, som stabilt viser 1.021 atm. Fordelingen beskrives som en uniform fordeling mellem 1.0205 and 1.0215, hvilket svarer til en spredning på $0.0005/\sqrt{3}\approx 0.00029$. ForegåendeNæste