Visse microorganismer producerer biofilm på forskellige overflader, hvilket for eksempel kan vanskeliggøre en sygdomsbekæmpelse. I artiklen Epigallocatechin gallate remodels overexpressed functional amyloids in Pseudomonas aeruginosa and increases biofilm susceptibility to antibiotic treatment studeres muligheden for at bekæmpe biofilm ved hjælp af Epigallocatechin 3-gallates (EGCG, stof der forekommer i grøn te). Artiklen har 12 forfattere, hvoraf 4 har tilknytning til iNANO på Aarhus Universitet. I denne opgave skal I se på biofilmens stivhed (Youngs modulus målt i kPa). Der er lavet 4 eksperimenter i alt med to forskellige bakterier, og hvor der enten tilsættes EGCG eller ikke tilsættes EGCG. De oprindelige rådata er ikke tilstede, men fra artiklen kan man fra figur aflæse gennemsnit og empirisk spredning baseret på 10 observationer (at der er 10 observationer i hvert eksperiment fremgår af sidste afsnit i artiklen). Højre del af ovenstående figur viser empirisk spredning afsat mod gennemsnit. Figuren peger på proportionalitet mellem spredning og middelværdi. I sådanne situationer fører en log-transformation af data typisk til varianshomogenitet mellem grupperne. I skal I denne opgave betragte pFad bakterien med og uden tilsætning af EGCG. Data findes i filen BiofilmPFad.csv, der har to søjler, hvor den første søjle angiver, om der er tilsat EGCG (angivet som med og uden), og den anden søjle indeholder biofilmens stivhed.

1. Indlæs data og dan vektorerne behandling og stivhed ud fra søjlerne i de indlæste data. Dan dernæst to datasæt, med og uden, med logaritmen til værdierne fra stivhed delt op efter behandling, for eksempel kan det første datasæt dannes med kommandoen
   $$\text{med=np.log(stivhed[behandling=="med"])}$$ (se afsnit 6.6 for et eksempel på udtræk af data fra datatabel). Tjek, at der er 10 observationer i hvert af de to datasæt (antallet af elementer i en vektor kan i python findes med funktionen len).
2. Lav en figur med et qqplot for hvert af de to datasæt. Koden, til at lave flere qqplots i den samme figur, kan du se i kodevinduet i starten af kapitel 6. Synes du, at logaritmen til biofilmens stivhed for hver behandling kan beskrives med en normalfordeling ?
   Lav også en figur med boxplot for hvert af de to datasæt. Flere boxplots i den samme figur kan laves som vist i kodevinduet i starten af kapitel 6. Hvilke ligheder og forskelle mellem de to datasæt kan du se i denne figur ?
3. Opstil modellen, hvor logaritmen til stivheden for hver gruppe (med og uden) følger sin egen normalfordeling (husk at angive Statistisk Model nummer).
   Udregn gennemsnit og empirisk spredning for hvert af de to datasæt.
   Angiv et 95%-konfidensinterval for middelværdien for hvert af de to datasæt.
4. I skal nu antage at der er samme varians i de to datasæt. Opstil modellen, hvor logaritmen til stivheden er normalfordelt, og de to datasæt har hver sin middelværdi, men samme varians.
   Opstil hypotesen at de to middelværdier er ens, og lav et test af denne hypotese.
   Er det rimeligt at antage, at biofilmens stivhed har samme middelværdi for de to behandlinger ?
5. Angiv et 95%-konfidensinterval for forskellen i middelværdi af logaritmen til biofilmens stivhed mellem gruppen med tilsætning af EGCG og gruppen uden tilsætning.
   Synes du, at forskellen mellem de to middelværdier i denne opgave er stor (se begrebet effektstørrelse i eksempel 6.2.2) ?
6. Konfidensintervallet i foregående spørgsmål er for forskellen mellem middelværdierne for logaritmen til hårdheden. Oversæt konfidensintervallet til et 95%-konfidensinterval for forholdet mellem middelværdierne af hårdheden.
7. Ovenfor antog I, at der er samme varians i de to grupper på logaritmen til hårdheden.
   Opskriv hypotesen, at de to varianser er ens, og lav et test for denne hypotese.
   Resultatet af dette test kan måske gøre jer lidt bekymrede i forhold til antagelsen om samme varians, men opgave 4.6 nedenfor skulle gerne fjerne jeres bekymring igen.

Hvis vi i stedet betragter bakterien Pseudomonas aeruginosa, PAO1 WT, og sammenligner med og uden tilsætning af EGCG viser det sig at data ikke strider mod samme middelværdi i de to grupper. Indflydelsen af at tilsætte EGCG er således forskellig for WT-bakterien og pFap-bakterien.

Luk igen

I renseanlæg kan det være et problem, hvis der dannes skum på overfladen af spildevandet. Det er derfor af interesse at kunne måle spildevandets evne til at danne skum. I artiklen Evaluating the Measurement of Activated Sludge Foam Potential sammenlignes to metoder til dette. Ved den ene metode (Luft) blæses der luftbobler gennem spildevandet, og ved den anden metode (AS: Alka-Seltzer tabletter) tilsættes en tablet til spildevandet overflade, der bevirker en kemisk reaktion. Ved hver af de to metoder er eksperimentet gentaget 20 gange, og hver gang måles højden på det dannede skum. For data i opgaven her er højden omregnet til en procentdel i forhold til mængden af spildevand. Data er simulerede i overensstemmelse med oplysningerne i artiklen og findes i filen Skum.csv, der har søjlerne Metode og Hoejde. Da de to metoder er meget forskellige, forventer vi ikke, at variansen på højden af skummet er den samme ved de to metoder.

1. Indlæs data fra filen Skum.csv. Lav to datasæt med højden af skummet svarende til de to metoder til at frembringe skummet.
   Hvad er den største værdi blandt Luft-målingerne ?
2. Lav en fælles figur med qqplots for begge datasæt.
   Synes du, at højden af skummet for hver metode kan beskrives med en normalfordeling ?
   Lav en figur, der indeholder boxplot af skumhøjden for de to metoder. Hvilke ligheder og forskelle mellem de to datasæt kan du se i denne figur ?
3. Opstil modellen, hvor hvert datasæt følger sin egen normalfordeling.
4. Angiv et 95%-konfidensinterval for forskellen i middelværdi af skumhøjden mellem Luft-metoden og AS-metoden.
   Angiv Resultat fra webbogen, der bruges til at lave konfidensintervallet.
   Synes du, at forskellen mellem de to middelværdier er stor ?
5. Forskellen i middelværdi siger ikke i sig selv, om den ene metode er mere brugbar end den anden. En anden vigtig egenskab er reproducerbarheden i en måling beskrevet via spredningen i fordelingerne.
   Lav et test for hypotesen, at der er samme spredning i målingerne for de to metoder. Lav også et 95%-konfidensinterval for forholdet mellem de to spredninger. Angiv Resultat fra webbogen, der bruges til at lave testet.
   Hvilken af de to metoder foretrækker du ?

Luk igen

1. Angiv sandsynligheden for at få en værdi over 2.3 i en $t$-fordeling med 27 frihedsgrader.
2. Find 97.5%-fraktilen i en $t$-fordeling med 10 frihedsgrader
3. Angiv sandsynligheden for at få en værdi under 2.228 i en $t$-fordeling med 10 frihedsgrader.

Luk igen

For de $t$-test, der udføres i denne bog, er udgangspunktet, at alle data er til rådighed. Imidlertid viser formlerne, at de forskellige test kan udføres, hvis blot gennemsnit og empiriske spredninger, samt antallet af observationer der ligger bagved, er til rådighed. Et (formodentligt konstrueret) eksempel på dette kan findes i opgave 4.13 i den syvende udgave af Quantitative Chemical Analysis. En bioanalytiker under optræning (trainee) vil være klar til at arbejde selvstændigt, hvis vedkommende opnår resultater sammenlignelige med resultater opnået af en erfaren bioanalytiker. En blodprøve deles op i 11 dele, hvor bioanalytikeren under optræning måler blood urea nitrogen på de 6 dele og den erfarne bioanalytiker på de 5 andre dele. Det må i opgavebesvarelsen antages, at målingerne er normalfordelte. Opsummerede resultater for de to bioanalytikere er i den følgende tabel. $$\begin{array}{lccc} \hline & n & \text{Gennemsnit }(\bar x) & \text{Empirisk Spredning }(s) \\ \hline \text{Trainee} & 6 & 14.57\enspace\text{mg/dL} & 0.53\enspace\text{mg/dL} \\ \text{Erfarne} & 5 & 13.95\enspace\text{mg/dL} & 0.42\enspace\text{mg/dL} \\ \hline \end{array}$$ Da vi ikke ved, om trainee er kommet op på niveau med den erfarne bioanalytiker, vil vi ikke på forhånd antage, at der er samme varians i de to måleserier.

1. Udregn forskel i gennemsnit som en procentdel af gennemsnit for den erfarne bioanalytiker. Synes du, at forskellen er stor eller lille ?
2. Opstil en statistisk model for data. Lav et test for hypotesen, at der er samme middelværdi i de to måleserier.
3. Lav et 95%-konfidensinterval for forskel i middelværdi mellem trainee og erfarne.
4. Det er også af interesse at se, om der er en forskel i variansen. Undersøg, om det kan antages, at der er samme varians i målingerne for trainee og erfarne.
5. Overvej, om bioanalytikeren under oplæring er klar til at arbejde selvstændigt.

Kontrol af jeres beregning

Luk igen

Betragt data i opgave 4.4.

1. Benyt ophobningsloven til at lave et approksimativt 95%-konfidensinterval for forskel i middelværdi mellem Trainee og Erfarne bioanalytiker af en måling af "blood urea nitrogen".
2. Sammenlign med et 95%-konfidensinterval baseret på $t$-fordelingen.

Luk igen

I denne opgave skal I betragte data omtalt i opgave 4.1 omkring stivhed af biofilm, hvor vi deler data ind efter bakterietype (pFad eller wt) og efter behandling (med eller uden tilsætning af EGCG). Dette giver i alt fire grupper af observationer. Data findes i filen BiofilmAlle.csv med to søjler. Første søjle med navnet Gruppe er kombinationen af bakterietype og behandling med værdierne pFadMed, pFadUden, wtMed og wtUden, og anden søjle med navnet Stivhed er biofilmens stivhed.

1. Indlæs data fra BiofilmAlle.csv som en datatabel. Konstruer en ny datatabel, indeholdende søjlen Gruppe og en søjle med logaritmen til stivhed (eller tilføj en søjle med logaritmen til stivhed til den indlæste datatabel).
2. Opstil modellen, hvor logaritmen til stivheden er normalfordelt med hver sin middelværdi og varians i de fire grupper.
3. Opstil hypotesen, at de fire varianser er ens.
   Lav Bartletts test for hypotesen om ens varianser
4. Ovenfor så I, at data ikke strider mod hypotesen om samme varians i de fire grupper. Omvendt lavede I til sidst i opgave 4.1 et test, der tydede på, at to af varianserne er forskellige. Hvordan passer disse to ting sammen ? Sammenhængen består I, at når man har fire variansskøn, vil det ofte være sådan, at man kan vælge to ud af de fire, hvor det ser ud til, at de underliggende varianser er forskellige. Dette illustreres i simulationen nedenfor. Konkret simuleres der 1000 sæt med fire variansskøn, og så laves der et test og tilhørende $p$-værdi, for at to varianser er ens, baseret på den mindste og den største af de fire variansskøn. Til sidst tælles der op, hvor stor en andel af de 1000 simulerede tilfælde der giver en $p$-værdi mindre end 0.05.
   Kør koden. Hvor ofte bliver $p$-værdien mindre end 0.05 ?
5. Hvis du ikke allerede har gjort det, så leg med koden i eksempel 6.7.1.

Luk igen

Find et eksempel på brugen af ophobningsloven i et af jeres andre kurser på universitetet, eller eventuelt fra jeres gymnasieundervisning. Hvis I ikke mener at have set ophobningsloven, så find et eksempel på nettet.

Luk igen

I forbindelse med besvarelsen af denne opgave skal du downloade filen svarAflevering3.txt fra kursushjemmesiden og indsætte nogle tal fra din besvarelse som angivet nedenfor. Filen skal afleveres sammen med din pdf-fil med besvarelsen.Når man skal undersøge effekten af en behandling, kan det være nødvendigt at overveje, om der kan være en placeboeffekt. Dette betyder, at en deltager i eksperimentet kan vise et positivt respons, selvom behandlingen ikke har nogen effekt. For at tage højde for dette gør man ofte det, at deltagerne i eksperimentet deles op i to grupper, hvor den ene gruppe (i opgaven her procyanidin-gruppen) bliver behandlet med det stof, man ønsker at undersøge, hvorimod den anden gruppe (placebo-gruppen) bliver behandlet med et virkningsløst stof. I et dobbeltblindt forsøg ved hverken deltagerne eller behandlerne hvilken af de to grupper en person tilhører, og dette afsløres først når behandlingsperioden er afsluttet. I denne opgave skal I se på effekten af Procyanidin B-2 (et stof i æbler: se figur nedenfor) til fremme af hårvæksten på mænd med varierende grad af skaldethed. I et dobbeltblindt eksperiment er der 19 deltagere i gruppen, der behandles med Procyanidin B-2, og 10 deltagere, der behandles med et placebostof. Data kan ses direkte i artiklen Investigation of topical application of procyanidin B-2 from apple to identify its potential use as a hair growing agent I filen Skaldethed.csv er resultaterne vedrørende tilvækst i antallet af hår i et $5\times 5\,\text{mm}$ kvadrat stort område for alle 29 personer. Filen er organiseret i to søjle, hvor den ene søjle angiver behandlingen, og den anden søjle angiver tilvæksten i antallet af hår. (En enkelt måling af antal hår er gennemsnit af, at tre personer har talt antallet af hår på et billede tre gange hver.) Det må i besvarelsen af opgaven antages, at tilvæksten i antallet af hår er normalfordelt. Da de to grupper modtager forskellig behandling, kan vi ikke på forhånd antage, at varianserne i de to grupper er ens

1. Indlæs data, og dan to datasæt med tilvæksten i antallet af hår for de to grupper, procyanidin-gruppen og placebo-gruppen. Beregn gennemsnit af målingerne for placebo-gruppen. Overfør den fundne værdi, med tre decimaler, til svarAflevering3.txt.
   Lav en figur, hvor tilvæksten afsættes langs andenaksen og alle målingerne hørende til procyanidingruppen har førstekoordinat 1 og alle hørende til placebogruppen har førstekoordinaten 2.
2. Opstil modellen, hvor hver gruppe har sin egen normalfordeling. Overfør Statistisk Model nummer til svarAflevering3.txt.
3. Angiv et 95%-konfidensinterval for forskel i middelværdi mellem behandlingsgruppen og placebogruppen. Angiv hvilken fordeling, der bruges til konstruktionen af konfidensintervallet.
   Overfør til svarAflevering3.txt Resultat nummer fra webbogen til konstruktion af konfidensintervallet.
   Overfør den øvre grænse i konfidensintervallet, med 3 decimaler, til filen svarAflevering3.txt.
4. Angiv $p$-værdien for et test af hypotesen om samme middelværdi af tilvæksten i de to grupper.
5. Undersøg, om data stemmer overens med en hypotese om samme varians i de to grupper. Overfør $p$-værdi med 3 decimaler, til svarAflevering3.txt.

Luk igen

I en RT-PCR analyse af 8 prøver er ekspressionsniveauet blandt andet målt for de fire gener CFL1, ATP5B, CFL1 og ACTB. Gennemsnit og empirisk varians for logaritmen til ekspressionsniveauet for hvert gen er vist i den følgende tabel. $$\begin{array}{lcccc}\hline \text{Gen} & \text{ATP5B} & \text{FLOT2} & \text{CFL1} & \text{ACTB} \\ \hline \text{Gennemsnit} & 10.147 & 10.848 & 8.509 & 8.098 \\ \text{Empirisk varians} & 0.170 & 0.293 & 0.156 & 0.181 \\ \text{Antal observation} & 8 & 8 & 8 & 8 \\ \hline \end{array}$$ (Data er fra hjemmesiden for Normfinder)

1. Undersøg, om det kan antages, at variansen af logaritmen til ekspressionsniveauet er den samme for de fire gener.

Luk igen