Afsnit 3.3: -teststørrelsen

Jeg vil nu formulere en hypotese i multinomialfordelingen generelt. Udgangspunktet er modellen
Hypotesen lægger begrænsninger på variationsområdet for idet
Her er kendte funktioner, er en ukendt parameter, der skal estimeres ud fra data, og kan variere i området som indeholder et åbent område af Det sidste udtrykker vi sprogligt på den måde, at har frie parametre. Under hypotesen betegnes den statistiske model med og man kan enten sige, at vi ønsker at teste hypotesen, eller at vi ønsker at teste reduktion fra model til model
Som skøn over bruges den værdi, der giver maksimum af likelihoodfunktionen :
hvor er givet i ligning (3.1.1).
Vi kan nu beregne likelihood ratio teststørrelsen som er forholdet mellem den maksimale værdi af likelihoodfunktionen under model og den maksimale værdi af likelihoodfunktionen under model Ved samme beregning som i foregående afsnit finder vi
og dermed
Her kaldes det forventede antal i kasse under hypotesen (under model ).
En lille værdi af betyder, at data beskrives meget dårligere under model end under model Jo mindre værdi af jo mere kritisk for hypotesen. Dette er det samme som, at jo større er, jo mere kritisk. værdien for et test baseret på er derfor sandsynligheden for ved gentagelse af eksperimentet at få en værdi af der er større end eller lig med den faktisk observerede værdi af -værdien kan ikke beregnes eksakt, og i stedet benyttes en approksimation baseret på ki-i-anden-fordelingen, som I kender fra calculuskurset. Hvis den stokastiske variabel er ki-i-anden fordelt med frihedsgrader, skriver jeg dette som Sandsynligheden for at skrives som og beregnes i python med kommandoen chi2.cdf(z,f) (MATLAB: chi2cdf(z,f)).
Resultat 3.3.1. (G-test)
Betragt multinomialmodellen (model ) og hypotesen hvor har frie parametre (model ). Betragt teststørrelsen og lad være den observerede værdi af teststørrelsen. Hvis alle de forventede er større end eller lig med 5, har vi approksimativt
Beviset for dette resultat er ikke nemt. Intuitivt bygger det på den centrale grænseværdisætning (se afsnit 2.4) og en andenordens taylorudvikling af likelihoodfunktionen. Antallet af frihedsgrader i -fordelingen er generelt hvor og er antallet af frie parametre i henholddsvis model og model I model har vi bindingen, at hvorfor antallet af frie parametre er
Resultatet ovenfor er første gang, vi støder på -fordelingen (ki-i-anden fordelingen) i dette kursus. Fordelingen optræder i sandsynlighedsdelen af jeres calculuskursus. For at I kan have en fornemmelse for denne fordeling, nævner jeg lige, at hvis er uafhængige standard normalfordelte variable, så har en fordeling med frihedsgrader.
Eksempel 3.3.2. (Konstant dødsrate)
Vi vender tilbage til underafsnit 3.2.1 med data omkring dødstidspunkt for zebrafisk i en opløsning med sølvnanopartikler, og laver -testet for hypotesen beskrevet der. Først skal vi finde et skøn over parameteren hvor , og Likelihoodfunktionen bliver
Ved sammenligning med likelihoodfunktionen i binomialmodellen i afsnit 2.1 ses, at Dernæst beregnes de forventede antal som , og Dette giver følgende tabel (forventede er afrundet til n decimal).
Da alle de forventede er større end eller lig med 5, beregner vi -teststørrelsen og den approksimative -værdi fra en -fordeling med frihedsgrader. Ved beregning af antal frihedsgrader benyttes, at multinomialmodellen her deler op i 5 kasser, og den hypotese, der testes, har 1 parameter (nemlig ). Beregningen i kodevinduet nedenfor giver og en -værdi på 0.234. Da -værdien er noget over 0.05, siger vi, at data ikke strider mod hypotesen om samme dødsrate i perioden 0-96 timer.

3.3.3 Beregning i python af G-test

Den følgende kode er kun semi-generel. Man skal selv indskrive en datavektor (), antal parametre (dpar) og de forventede antal (ex).

MATLAB-kode

$\chi^2$-fordelingen i python

I det følgende kodevindue tegnes tætheden for en fordeling, og 95%-fraktilen markeres med en lodret streg. Fraktilen angiver punktet, hvor 95% af sandsynligheden i fordelingen ligger til venstre for punktet og 5% ligger til højre for punktet. Prøv at køre koden med forskellige valg af antallet af frihedgrader Prøv også i kodevinduet at beregne sandsynligheden for at ligge til højre for 5.99 i en -fordeling med 2 frihedsgrader.

MATLAB-kode

ForegåendeNæste