I afsnit 8.2 vil vi se på en situation, hvor data er delt op i mere end to grupper, og ønsker at sammenligne middelværdierne i grupperne. Det vil være naturligt at starte en analyse af data med at vurdere, om varianserne i grupperne kan antages ens. Vi ved fra afsnit 6.4, hvordan man kan lave et test for, at to varianser er ens, men hvordan gør vi, når det skal vurderes, om mere end to varianser er ens. Der er ikke en intuitiv oplagt måde at gøre dette på. Vi kan imidlertid bruge det generelle princip til at konstruere en teststørrelse omtalt i afsnit 3.2 (likelihood ratio test). Testet konstrueret på denne måde forbedrede M.S.$\,$Bartlett i 1937, og det kendes derfor i dag som Bartletts test. Antag, at der er $k$ grupper af observationer, og for hver gruppe $g=1,\ldots,k$ er der lavet et variansskøn $s_g^2$ med $\mathit{df}_{\text{\negthinspace} g}$ frihedsgrader: $$s_g^2\sim\sigma_g^2\chi^2(\mathit{df}_{\text{\negthinspace} g})/\mathit{df}_{\text{\negthinspace} g},$$ og disse variansskøn er uafhængige. Vi ønsker at teste hypotesen, at varianserne er ens, $$H:\enspace \sigma_1^2=\sigma_2^2=\cdots = \sigma_k^2.$$ For at beskrive teststørrelsen indføres først et fælles variansskøn under hypotesen, $$s^2=\frac{\sum_{g=1}^k\mathit{df}_{\text{\negthinspace} g}s_g^2}{\mathit{df}},\enspace \mathit{df}=\sum_{g=1}^k\mathit{df}_{\text{\negthinspace} g}.$$ Bartletts test for ens varianser er på formen $$\mathit{Ba}=\frac{1}{C}\Big( \mathit{df}\cdot\ln(s^2)-\sum_{g=1}^k\mathit{df}_{\text{\negthinspace} g}\cdot\ln(s_g^2) \Big),\enspace C=1+\frac{1}{3(k-1)}\Big(\sum_{g=1}^k\frac{1}{\mathit{df}_{\text{\negthinspace} g}}- \frac{1}{\mathit{df}}\Big). \tag{6.7.1}$$ Store værdier af Ba er kritiske for hypotesen, og $p$-værdien for testet kan findes approksimativt som $$p\text{-værdi}=1-\chi^2_{\text{cdf}}(\mathit{Ba},k-1).$$ Python har funktionen bartlett og MATLAB funktionen vartestn der kan bruges til at lave Bartletts test. For at lave et mere simpelt kald har jeg imidlertid lavet funktionen bartlettGroup. I python-versionen ligger den i filen pytFunktioner.py og i MATLAB-versionen i filen bartlettGroup.m. Input til funktionen er en datatabel, navnet på søjlen med dataværdierne og navnet på søjlen, der skal bruges til at opdele data i grupper. I afsnit 8.5 skal I lave en opdeling baseret på to variable, hvilket kan gøres ved at skrive begge navnene på søjlerne med de relevante variable. Den præcise struktur af kaldet fremgår af eksemplet nedenfor. Output er en tabel med Bartlettteststørrelsen, antal frihedsgrader i $\chi^2$-fordelingen, og den approksimative $p$-værdi. ForegåendeNæste   

Opgaver