Afsnit 5.2: Den generelle formel

For at forstå den generelle formel i ophobningsloven vil jeg starte med et eksempel med en funktion af to variable, med tilhørende skøn Hvis vi laver en taylorudvikling af omkring , får vi
hvor jeg har indført notation for de partielt afledede for at gøre formlen mere overskuelig. Flytter jeg over på venstresiden, kvadrerer og tager middelværdi på begge sider, får jeg
hvor den sidste middelværdi kaldes kovariansen mellem og
De partielt afledede udregnet i betegnes med og , og skøn over kovariansen betegnes med . Indsættes skøn får jeg ophobningsloven
Hvis de to skøn og er uafhængige, er kovariansen mellem dem nul, hvilket simplificerer ovenstående formel.

Ohms lov

Citatet nedenfor stammer fra Patrick Lockerby.
Lad os som et konkret eksempel betragte Ohms lov, der siger, at modstand kan beregnes som spænding delt med strømstyrke, svarende til funktionen Her er og . Hvis vi har uafhængige målinger og af spænding og strømstyrke, bliver den målte modstand , og ophobningsloven skrives som

I en generel formulering betragter vi en parameter , som er en funktion af andre parametre , Gennem et eksperiment har vi opnået skønnene med tilhørende usikkerheder og hvis målingerne ikke er uafhængige, har vi også skøn over kovarianserne, Den partielt afledede af med hensyn til , udregnet i punktet betegnes med
Resultat 5.2.1. (Ophobningsloven generelt)
Som en approksimation har vi
hvor den sidste dobbeltsum forsvinder, hvis målingerne er uafhængige.
I tilfældet med uafhængige målinger bliver ophobningsloven med fysiknotation

Carl Friedrich Gauss, 1777-1855

Ophobningsloven optræder allerede hos den berømte matematiker Carl Friedrich Gauss (normalfordelingen kaldes også Gauss-fordelingen). Gauss skrev disse resultater på latin. Her gengiver jeg lige argumentet i tilfældet med uafhængige variable.

ForegåendeNæste