For at forstå den generelle formel i ophobningsloven
vil jeg starte med et
eksempel med en funktion af to variable,
med tilhørende skøn
Hvis vi laver en
taylorudvikling, får vi
hvor jeg har indført notation for de partielt afledede for at
gøre formlen mere overskuelig.
Flytter jeg over på venstresiden, kvadrerer og tager
middelværdi på begge sider, får jeg
hvor den sidste middelværdi kaldes kovariansen mellem
og
De partielt afledede udregnet i betegnes med
og , og skøn over
kovariansen betegnes med . Indsættes skøn
får jeg ophobningsloven
Hvis de to skøn og er uafhængige, er
kovariansen mellem dem nul, hvilket simplificerer ovenstående formel.
Lad os som et konkret eksempel betragte Ohms lov, der siger, at
modstand kan beregnes som spænding delt med strømstyrke,
svarende til funktionen Her er
og . Hvis vi har uafhængige
målinger og af spænding og strømstyrke,
bliver den målte modstand , og
ophobningsloven skrives som
I en generel formulering betragter vi en parameter , som er en
funktion af andre parametre ,
Gennem et eksperiment har vi
opnået skønnene med tilhørende
usikkerheder
og hvis målingerne ikke er uafhængige, har vi også skøn over
kovarianserne, Den partielt afledede
af med hensyn til , udregnet i punktet
betegnes med
Resultat 5.2.1.
(Ophobningsloven generelt)
Som en approksimation har vi
hvor den sidste dobbeltsum forsvinder, hvis målingerne er uafhængige.
I tilfældet med uafhængige målinger bliver ophobningsloven
med fysiknotation
ForegåendeNæste
