I denne øvelse skal I betragte data, der kan beskrives med en
normalfordeling. I skal lave test og konfidensinterval for middelværdien.
Dernæst skal I træne i forståelsen og brugen af
ophobningsloven. I skal både se på den klassiske ophobningslov
og se på muligheden for at bruge simulationer til at forbedre
resultaterne fra ophobningsloven.
I artiklen
Ultrasmooth gold surfaces prepared by chemical mechanical polishing for applications in Nanoscience
beskrives en ny måde at lave meget
glatte overflader. Ruheden af en
overflade måles på AFM billeder (atomic force microscopy) og måles i
nanometer.
Der er målinger på 60 overflader (data i opgaven her er baseret på
figur 2 i artiklen). Data ligger i filen
Guldoverflade.txt.De 60 målinger af ruheden er fremkommet ved, at der på 5 wafers er udvalgt
12 områder, hvor ruheden er målt. En enkelt måling består i, at et
1×1μm2 stort område betragtes via atomic force microscopy.
Indenfor dette område måles overfladens højde i nanometer
i et stort antal punkter, og den empiriske spredning af disse
højder beregnes og kaldes ruheden.
I denne opgave skal I angive den viden, vi har ud fra de 60 målinger
om overfladeruheden ved den anvendte produktionsproces.
Middelværdien siger noget om, hvilken ruhed processen generelt
producerer, og spredningen siger noget
om stabiliteten i processen. Artiklen, hvor data stammer fra,
vedrører en ny måde (chemical mechanical polishing) at producere
overflader på. Den tidligere anvendte metode (template stripped)
giver ifølge forfatterne en ruhed på 0.37 nM. Denne opgave kan formuleres kort som følger. Opstil en
statistisk model for ruheden,
lav inferens for parametrene i modellen,
og overvej om den nye produktionsmåde giver ruheder sammenlignelige med den
tidligere metode.
Skrevet ud bliver dette til følgende spørgsmål.
Indlæs data fra filen Guldoverflade.txt.
Lav et normal-qqplot af data og kommenter på figuren.Angiv andenkoordinaten, med to decimaler,
til det anden-øverste punkt
Opskriv en statistisk model for data.
Angiv skøn og 95%-konfidensinterval for middelværdien af
ruheden. Angiv resultat fra bogen til konstruktion af
konfidensintervallet.
Angiv skøn og 95%-konfidensinterval for spredningen af ruheden.
Angiv resultat fra bogen til konstruktion af konfidensintervallet.
Angiv p-værdien for et test af hypotesen, at middelværdien af
ruheden er 0.37, svarende til template stripped-metoden.
Hvilken fordeling bruges til at finde p-værdien?
Til sidst følger her en multiple choice opgave.
Nedenfor er der 1 eller 2 korrekte svar. Find disse.
I et normal-qqplot vil punktet yderst til venstre altid
have den største andenkoordinat.
Hvis gennemsnittet af observationer afviger mere end 2 fra
μ0, hvor vi ønsker at teste hypotesen, at middelværdien er μ0,
så vil vi altid forkaste hypotesen.
For data i denne opgave kan vi acceptere hypotesen, at
middelværdien er 0.39.
Antallet af frihedsgrader i t-fordelingen, der anvendes til test af,
at middelværdien har en bestemt værdi, er generelt n−1−2, hvor n
er antallet af observationer.
Polyomavirus er en gruppe virus, der kan give anledning til forskellige
sygdomme og kan specielt være et problem i forbindelse med
forskellige transplantationer. Det er vigtigt at kunne monitorere
mængden af virus i et sygdomsforløb. Imidlertid anvender forskellige
laboratorier forskellige målemetoder, som kan give sammenligningsproblemer.
I artiklen
An in-house assay for BK polymavirus quantification using the Abbott m2000 RealTime system
undersøges en målemetode, der kan implementeres på det enkelte hospital,
hvorved man kan undgå sammenligningsproblemet. I skal i denne opgave se på en sammenligning af den nye målemetode
(Abbott) med målinger foretaget med en anden metode på et andet
laboratorium (laboratorie A). Der indgår 20 prøver, hvor indholdet af
polyomavirus er målt både med den nye metode og med den
anden metode på laboratorie A.
Data er aflæst fra figur 2 i artiklen og
findes i filen BKquantification.csv. Filen har tre søjler,
første søjle er prøvenummer, anden søjle er måling fra laboratorie A og
tredje søjle er den nye måling med Abbott-systemet. Målingerne er
log10 transformerede værdier af antal kopier per milliliter.
Indlæs data, og dan tre vektorer med indholdet i de tre søjler,
se eventuelt det skjulte punkt omkring indlæsning i afsnit 1.6. Lav en figur, hvor den målte værdi fra Abbott systemet
tegnes op mod værdien fra laboratorie A (laboratorie A værdierne
skal være ud af førsteaksen og Abbott værdierne op langs andenaksen).
Indtegn identitetslinjen
i figuren (afsnit Py.2.4.)
Angiv, hvor mange punkter der ligger over identitetslinjen. Kan du ud fra figuren lave en forløbig vurdering af om de to
målemetoder giver det samme resultat?
Betragt nu de 20 differenser bestående af den målte værdi
fra Abbott systemet minus den målte værdi fra laboratorie A.
Lav et normal qqplot af differenserne, og opskriv
en statistiske model for disse.
Lav et test for hypotesen, at middelværdien af differensen er nul,
svarende til hypotesen, at der ikke er forskel mellem de to målemetoder. Lav dernæst et 95%-konfidensinterval for middelværdien af differensen. Hvad bliver konklusionen af disse udregninger?
I analytisk kemi bestemmer man ofte koncentrationen af et stof
ved spektroskopi og brug af Beers lov,
hvor lys sendes gennem en opløsning med stoffet.
Beers lov siger, at A=ϵvc, hvor
A er absorbansen givet ved log10 af forholdet mellem
lysmængden før og efter passage af opløsningen, v er den
vejlængde, lyset skal tilbagelægge (cm), c er koncentrationen af stoffet
(mol/L,) og ϵ er den molare absorptionskoefficient
(L/(cm⋅mol),) der karakteriserer stoffet.
Beers lov giver, at koncentrationen er c=A/(ϵv).
Den følgende tabel giver et eksempel med målte værdier
(A^, v^, ϵ^) af
A, v og ϵ og med tilhørende
standard errors.
Beregn skøn for koncentrationen c med de
målte værdier i tabellen ovenfor.
Vis, at de partielt afledede af funktionen c(A,v,ϵ)
udregnet i (A^,v^,ϵ^) er
c^A=79.3651,c^v=−13.7148,c^ϵ=−1088.479.
Beregn standard error for koncentrationen c med de
målte værdier i tabellen ovenfor, og under antagelsen at de målte værdier er
stokastiske uafhængige. Angiv Resultat fra webbogen der bruges.
Hvis I havde muligheden for at nedsætte en af standard errors i
tabellen ovenfor til det halve,
hvilken af de tre ville I så vælge?
Beregn et approksimativt 95%-konfidensinterval for
koncentrationen. Angiv Resultat fra webbogen der bruges.
Ophobningsloven kan for eksemplet i denne opgave skrives som
Den følgende tabel giver målte værdier af parametrene μ1 og μ2
og tilhørende standard errors. De to målinger er stokastisk uafhængige.
Betragt funktionen f(μ1,μ2)=μ1−2μ2 og parameteren
θ=f(μ1,μ2).
Betydningen af nanopartikler i naturen diskuteres ofte.
En måde at måle betydningen på er ved kontrollerede eksperimenter,
hvor dødeligheden af for eksempel embryoer af zebrafisk
undersøges, når disse opholder sig i en opløsning med nanopartikler.
Som måleenhed for dødeligheden bruger man parameteren
θ=LC50 (lethal concentration),
som er den log-koncentration, hvorunder 50% af embryoerne ikke overlever
at opholde sig i opløsningen i et fast tidsrum. I tabellen nedenfor er resultaterne fra figur 4 i artiklen
Comparative metal oxide nanoparticle toxicity using embryonic zebrafish.
For hver af 7 koncentrationer (Zn Ion Equivalent) af nanopartikler
er der registreret, hvor mange ud af 32 embryoer der dør.
For data i denne tabel er det naturligt at bruge modellen
Doedei∼binomial(ni,pi),i=1,…,7,
hvor Doedei er det stokastiske antal døde blandt ni embryoer ved koncentration
nummer i.
Hvis di angiver logaritmen til den i'te koncentration, bruges ofte den
logistiske regressionsmodel, der er på formen
pi=1+eα+βdieα+βdi.(5.7.1)
Modellen har således to parametre α og β, og i denne model er
LC50 givet ved θ=−α/β.
Figuren nedenfor viser fraktionen af døde, det vil sige xi/ni,
afsat mod log koncentration di. Endvidere er den estimerede logistiske kurve
indtegnet, det vil sige kurven (d,p^(d)) med
I denne opgave fortsætter vi med bestemmelsen af koncentrationen
af et stof via Beers lov som i opgave 3.3 ovenfor. Vi vil også bruge
de målte værdier fra tabellen i den opgave. I denne opgave skal I forbedre
det approksimative konfidensinterval fra ophobningsloven ved hjælp af
simulationer som i eksemplet med gaskonstanten i afsnit 5.6.
I skal bruge koden fra sidst i afsnit 5.5, idet I skifter
de eksempelspecifikke dele ud. Koncentrationen findes ud fra formlen c=A/(ϵv). Da
ϵ og v indgår i nævneren, skal I i simulationen lade disse
to variable være nedadtil begrænsede. De partielt afledede af c er
cA=ϵv1,cv=−ϵv2A,cϵ=−ϵ2vA.
Betragt koden fra sidst i afsnit 5.5 og
benyt rækkefølgen A,v,ϵ for de variable der indgår i
koncentrationen c. Se på den første eksempelspecifikke del. Forklar at posList skal være på formen 0,1,1. Indsæt
A^,v^,ϵ^ i hatmu, og indsæt standard errors i
stds.Indsæt under hatTheta formlen c^=A^/(v^ϵ^)
nu udtrykt ved hatmu, hvor første indgang er A^,
anden indgang er v^ og tredje indgang er ϵ^. Indsæt på tilsvarende måde under dthetaDmu formlerne for de
partielle afledede af koncentrationen c udtrykt ved hatmu.
Betragt dernæst den anden eksempelspecifikke del. Indet under
tildeTheta formlen for koncentrationen, nu udtrykt ved søjlerne i
muSim, hvor første søjle er simulerede målinger af A,
anden søjle er simulerede målinger af v og tredje søjle er
simulerede målinger af ϵ. Indsæt på tilsvarende måde under dtildeDmu formlerne for de
partielle afledede af koncentrationen c udtrykt ved
søjerne i muSim.
Kør programmet og diskuter forholdet mellem det
approksimative konfidensinterval beregnet
i opgave 3.3 og det simulationsbaserede interval.
Tilføj i programmet kode til udskrivning af simulationsbaseret
skøn over standard error
print(np.sqrt(np.mean((tildeTheta-hatTheta)**2)))
Synes I, at spredningskønnet fra ophobningsloven i opgave 3.3 er tilfredsstillende
i dette eksempel?
I forbindelse med besvarelsen af denne opgave skal du downloade
filen svarAflevering2.txt fra kursushjemmesiden og indsætte nogle tal
fra din besvarelse som angivet nedenfor. Filen skal afleveres
sammen med din pdf-fil med besvarelsen.Bakterier kan dyrkes i en chemostat under kontrollerede
betingelser. Den såkaldte væksteffektivitet ξ er defineret som
ξ(P,R)=P/(P+R), hvor P er en kulstofmåling og R er produktion af
CO2. I et eksperiment har man fået følgende uafhængige
målinger (P^ og R^ med enhed
mikromol carbon)
Beregn et skøn over væksteffektiviteten ξ.
Overfør den fundne værdi, med fire decimaler, til svarAflevering2.txt.
Vis, at de partielle afledede af væksteffektiviteten udregnet i
(P^,R^) er
ξ^P=0.002962,ξ^R=−0.0005305.
Overfør det næste ciffer i ξ^R efter 5305 til svarAflevering2.txt.
Benyt ophobningsloven til at beregne standard error
for skønnet over væksteffektiviteten. Angiv Resultat fra webbog til
beregning af standard error. Ovefør både standard error, med fire decimaler,
og Resultat nummer til
svarAflevering2.txt.
Beregn et approksimativt 95%-konfidensinterval ud fra ophobningsloven.
Overfør den øvre grænse i konfidensintervallet, med fire decimaler,
til svarAflevering2.txt.
Betragt binomialmodellen X∼binom(n,p) og skønnet
p^=nX over parameteren p. Der gælder
(skal ikke vises) at standard error for p^ er
stds(p^)=n1p^(1−p^).(5.7.2)
Benyt ophobningsloven til at lave et approksimativt
95%-konfidensinterval for parameteren
θ=log(1−pp) (θ kaldes log-odds) i situationen
med x=48 og n=160.
Betragt igen data fra opgave 3.5 beskrevet med den
logistiske regressionsmodel. Vi er særlig interesseret i situationen,
hvor logaritmen til dosis er d0=1.2.
Benyt ophobningsloven til at lave et approksimativt
95%-konfidensinterval for parameteren α+βd0.
Oversæt det fundne konfidensinterval til et konfideninterval
for sandsynligheden for at dø, det vil sige
exp(α+βd0)/(1+exp(α+βd0)).
Benyt i stedet ophobningsloven til at lave et approksimativt
95%-konfidensinterval for
exp(α+βd0)/(1+exp(α+βd0)).
En blodprøve deles op i 5 dele, og en bioanalytiker måler
blood urea nitrogen på hver af de 5 dele.
Erfaringen viser, at sådanne målinger kan beskrives med en normalfordeling.
Gennemsnit af de 5 målinger er 13.95 mg/dL, og den empiriske spredning er
0.42 mg/dL.
Lav et 95%-konfidensinterval for middelværdien af
indholdet af blood urea nitrogen.