Jeg har ovenfor indført to tests af hypotesen om ens middelværdier i
to normalfordelte populationer. Et test i situationen hvor
varianserne er ens og et andet, når varianserne i de to grupper er
forskellige. Hvorfor bruger vi to test i stedet for blot at nøjes
med testet, hvor det ikke antages, at varianserne er ens ?
Svaret er, at hvis data ikke strider mod fælles varians, så får vi
et stærkere test for hypotesen om samme middelværdi. Et stærkere
test betyder, at man har nemmere ved at opdage en forskel i middelværdi,
hvilket kan aflæses i, at konfidensintervallet for forskellen
mellem de to middelværdier er smallere (97.5%-fraktilen i en
-fordeling falder, når antallet af frihedsgrader vokser, og
frihedsgraderne i tilfældet med ens varianser er
).For at kunne afgøre hvilket af de to tests der skal bruges, skal man
overveje, om de to varianser er ens. Vi betragter derfor hypotesen
i
Statistisk Model 6.1.1
med
Samme varians svarer i et qqplot af de to observationssæt til, at
data snor sig om parallelle linjer. I et boxplot skal de
to kasser være cirka lige store.For at kunne bruge det test jeg nu vil indføre i andre modelsammenhænge,
betragter jeg en lidt mere generel situation. Antag, at vi har to
uafhængige variansskøn
Situationen under model
Statistisk Model 6.1.1
svarer til
og For at teste
hypotesen om samme varians vil jeg benytte
forholdet som bør være tæt på 1 under hypotesen.
Da
under hypotesen, vil fordelingen af være fordelingen af
hvor og er uafhængige og
Definition 6.4.1.
(-fordeling)
Lad og være uafhængige,
og
Så siges
at følge en -fordeling med frihedsgrader i tæller
og frihedsgrader i nævner.
Fordelingsfunktionen udregnet i betegnes
og -fraktilen betegnes
I
python er de tilsvarende funktioner
og
(MATLAB: og
).
I nedenstående kodevindue tegnes tætheden for en
-fordeling, og 2.5% og 97.5%
fraktilerne markeres. Desuden er medianen for fordelingen
markeret. Tætheden findes i python med kommandoen
(MATLAB: ).
Prøv at køre koden med forskellige valg af
frihedsgradsantallene og
Ved det test, der laves nedenfor, bliver 2.5% og 97.5%
fraktilerne grænserne for, hvornår vi accepterer, og hvornår
vi forkaster.
Når man laver et test for hypotesen
mod alternativet er både store og små
værdier af kritiske. Store og små værdier skal ses i
forhold til et midtpunkt for fordelingen (medianen), som er det punkt
hvor der er sandsynlighed 0.5 for værdier under og
sandsynlighed 0.5 for værdier over.
Hvis derfor den oberverede værdi af
er større end medianen, bruger vi som -værdi 2 gange
sandsynlighed for at få en værdi over og hvis
er mindre end medianen, bruger vi 2 gange
sandsynlighed for at få en værdi mindre end
Med andre ord siger vi, at der er lige så stor en sandsynlighed
for kritiske værdier på den anden side af medianen som på den side
af medianen, hvor ligger. For at undgå at finde
medianen implementerer vi beregningen som i det følgende resultat.
Resultat 6.4.2.
(Teste to varianser ens)
For test af hypotesen
mod i
Statistisk Model 6.1.1
benyttes og
-værdi beregnes som
hvor er den observerede værdi af
Eksempel 6.4.3.
(Opdagelsen af Argon)
Jeg vender tilbage til Eksempel 6.3.2
omkring massen af kvælstof udvundet på to forskellige måder.
Vi fandt i eksemplet,
at de to variansskøn er
Herudfra kan man beregne -teststørrelsen for hypotesen
om samme varians,
Da -værdien er langt under 0.05, strider data
mod hypotesen om samme varians ved de to
metoder til udvinding af kvælstof.