Afsnit 6.4: Teste varianser ens

I de to foregående afsnit har vi undersøgt, om det kan antages, at middelværdierne er ens i to grupper. Det kan også være af interesse at undersøge, om varianserne er ens. For eksempel kan man se på, om der er forskel i måleusikkerheden i to laboratorier eller i to forskellige måleinstrumenter. Forskelle i to populationer (population forstået bredt) kan både påvirke middelværdi og varians, og her kan det også være af interesse at sammenligne varianserne, et eksempel kan være virkningen af to forskellige katalysatorer.

For to grupper af normalfordelte observationer betragter vi hypotesen $\sigma_1^2=\sigma_2^2$ i Statistisk Model 6.1.1 med $X_{ji}\sim N(\mu_j,\sigma_j^2).$ Samme varians svarer i et qqplot af de to observationssæt til, at data snor sig om parallelle linjer. I et boxplot skal de to kasser være cirka lige store.

For at kunne bruge det test jeg nu vil indføre i andre modelsammenhænge, betragter jeg en lidt mere generel situation. Antag, at vi har to uafhængige variansskøn

$s_1^2\sim\sigma_1^2\chi^2(\mathit{df}_1)/\mathit{df}_1,\quad s_2^2\sim\sigma_2^2\chi^2(\mathit{df}_2)/\mathit{df}_2. \tag{6.4.1}$ Situationen under model Statistisk Model 6.1.1 svarer til $\mathit{df}_1=n_1-1$ og $\mathit{df}_2=n_2-1.$ For at teste hypotesen om samme varians $\sigma_1^2=\sigma_2^2,$ vil jeg benytte forholdet $s_1^2/s_2^2,$ som bør være tæt på 1 under hypotesen. Da

$\frac{s_1^2}{s_2^2}=\frac{s_1^2/\sigma^2}{s_2^2/\sigma^2} =\frac{s_1^2/\sigma_1^2}{s_2^2/\sigma_2^2}$ under hypotesen, vil fordelingen af $s_1^2/s_2^2$ være fordelingen af $V_1/V_2,$ hvor $V_1$ og $V_2$ er uafhængige og $V_j\sim\chi^2(\mathit{df}_j)/\mathit{df}_j.$

Definition 6.4.1. ( $F$ -fordeling)

Lad $V_1$ og $V_2$ være uafhængige, $V_1\sim\chi^2(\mathit{df}_1)/\mathit{df}_1$ og $V_2\sim\chi^2(\mathit{df}_2)/\mathit{df}_2.$ Så siges $V_1/V_2$ at følge en $F$ -fordeling med $\mathit{df}_1$ frihedsgrader i tæller og $\mathit{df}_2$ frihedsgrader i nævner. Fordelingsfunktionen udregnet i $x$ betegnes $F_{\text{cdf}}(x,\mathit{df}_1,\mathit{df}_2)$ og $p$ -fraktilen betegnes $F_{\text{inv}}(p,\mathit{df}_1,\mathit{df}_2).$ I python er de tilsvarende funktioner $\text{st.f.cdf}(x,\mathit{df}_1,\mathit{df}_2)$ og $\text{st.f.ppf}(p,\mathit{df}_1,\mathit{df}_2)$ (hvor scipy.stats er importeret som st).

$F$-fordeling i python

I nedenstående kodevindue tegnes tætheden for en $F(\mathit{df}_1,\mathit{df}_2)$ -fordeling, og 2.5% og 97.5% fraktilerne markeres. Desuden er medianen for fordelingen markeret. Tætheden findes i python med kommandoen $\text{f.ppf}(\cdot,\mathit{df}_1,\mathit{df}_2).$ Prøv at køre koden med forskellige valg af frihedsgradsantallene $\mathit{df}_1$ og $\mathit{df}_2.$ Ved det test, der laves nedenfor, bliver 2.5% og 97.5% fraktilerne grænserne for, hvornår vi accepterer, og hvornår vi forkaster.

Når man laver et test for hypotesen $\sigma_1^2=\sigma_2^2$ mod alternativet $\sigma_1^2\neq \sigma_2^2,$ er både store og små værdier af $s_1^2/s_2^2$ kritiske. Store og små værdier skal ses i forhold til et midtpunkt for fordelingen (medianen), som er det punkt hvor der er sandsynlighed 0.5 for værdier under og sandsynlighed 0.5 for værdier over. Hvis derfor den oberverede værdi $F_{\text{obs}}$ af $s_1^2/s_2^2$ er større end medianen, bruger vi som $p$ -værdi 2 gange sandsynlighed for at få en værdi over $F_{\text{obs}},$ og hvis $F_{\text{obs}}$ er mindre end medianen, bruger vi 2 gange sandsynlighed for at få en værdi mindre end $F_{\text{obs}}.$ Med andre ord siger vi, at der er lige så stor en sandsynlighed for kritiske værdier på den anden side af medianen som på den side af medianen, hvor $F_{\text{obs}}$ ligger. For at undgå at finde medianen implementerer vi beregningen som i det følgende resultat.

Resultat 6.4.2. (Teste to varianser ens)

For test af hypotesen $\sigma_1^2=\sigma_2^2$ mod $\sigma_1^2\neq \sigma_2^2$ i Statistisk Model 6.1.1 benyttes $s_1^2/s_2^2\sim F(\mathit{df}_1,\mathit{df}_2),$ og $p$ -værdi beregnes som

$p\text{-værdi}= 2\cdot \min\{ F_{\text{cdf}}(F_{\text{obs}},\mathit{df}_1,\mathit{df}_2), 1-F_{\text{cdf}}(F_{\text{obs}},\mathit{df}_1,\mathit{df}_2) \},$ hvor $F_{\text{obs}}$ er den observerede værdi af $s_1^2/s_2^2.$

Endvidere er et 95%-konfidensinterval for forholdet mellem de to varianser, det vil sige for parameteren $\sigma_1^2/\sigma_2^2,$ givet ved

$\Big[\frac{F_{\text{obs}}}{F_\text{inv}(0.975,\mathit{df}_1,\mathit{df}_2)}, \frac{F_{\text{obs}}}{F_\text{inv}(0.025,\mathit{df}_1,\mathit{df}_2)} \Big].$

Konfidensintervallet for forholdet mellem de to varianser fås ved at bruge $\frac{s_1^2/\sigma_1^2}{s_2^2/\sigma_2^2}\sim F(\mathit{df}_1,\mathit{df}_2).$

Eksempel 6.4.3. (Opdagelsen af Argon)

Jeg vender tilbage til Eksempel 6.3.2 omkring massen af kvælstof udvundet på to forskellige måder. Vi fandt i eksemplet, at de to variansskøn er

$s_{\text{atmos}}^2=2.035\cdot 10^{-8},\enspace\mathit{df}_{\text{atmos}}=7-1=6,\quad s_{\text{kemi}}^2=1.940\cdot 10^{-6},\enspace\mathit{df}_{\text{kemi}}=8-1=7.$ Herudfra kan man beregne $F$ -teststørrelsen for hypotesen om samme varians, $\sigma_{\text{atmos}}^2=\sigma_{\text{kemi}}^2,$

$F=\frac{0.02035}{1.940}=0.01049,\quad p\text{-værdi}=2\cdot F_{\text{cdf}}(0.01049,6,7)=0.00002.$ Da $p$ -værdien er langt under 0.05, strider data mod hypotesen om samme varians ved de to metoder til udvinding af kvælstof.

Et 95%-konfidensinterval for forholdet $\sigma_{\text{atmos}}^2/\sigma_{\text{kemi}}^2$ bliver

$\Big[\frac{0.01049}{ 5.1186}, \frac{0.01049}{ 0.1756}\Big] =[0.0020,0.0597].$ Skønnet over forholdet mellem de to varianser er 0.010, og konfidensintervallet viser, at forholdet kan være så lavt som 0.002. Det brede konfideninterval skyldes, at vi kun har henholdsvis 7 og 8 observationer i de to grupper. Har I viden, der kan forklare, at variansen er meget lavere for eksperimentet, hvor der fjernes ilt fra atmosfæren ?

Foregående Næste