Her kommer først en quiz, for at teste forståelsen af ophobningsloven.

Test dig selv

I formlerne i den følgende tabel er $a$ og $b$ konstanter, og parameteren $\theta$ er en funktion af $\mu.$ Desuden er $\text{std}_s(\hat\theta)$ standard error for $\hat\theta.$ $$\begin{array}{lccc} \hline &&& \\ \text{Funktion }\theta & \hat\theta & \text{std}(\hat\theta) & \text{std}_s(\hat\theta) \\ &&& \\ \hline &&& \\ a \mu^b & a{\hat\mu}^b & |b|\theta\frac{\text{std}(\hat\mu)}{\mu} & |b|\hat\theta\frac{\text{std}_s(\hat\mu)}{\hat\mu} \\ &&& \\ \hline &&& \\ a\log(b \mu) & a\log(b\hat\mu) & |a|\frac{\text{std}(\hat\mu)}{\mu} & |a|\frac{\text{std}_s(\hat\mu)}{\hat\mu} \\ &&& \\ \hline &&& \\ a e^{b\mu} & a e^{b\hat\mu} & |b\theta|\cdot \text{std}(\mu) & |b\hat\theta|\cdot\text{std}_s(\hat\mu) \\ &&& \\ \hline &&& \\ a^{b\mu} & a a^{b\hat\mu} & |b\log(a)\theta|\cdot \text{std}(\mu) & |b\log(a)\hat\theta|\cdot\text{std}_s(\hat\mu) \\ &&& \\ \hline \end{array}$$ I tilfældet med $\theta=\log(\mu),$ og hvor vi har relationen $\text{std}(\hat\mu)=c\mu,$ hvor $c$ er en konstant, ser vi, at $\text{std}(\hat\theta)\approx c\mu/\mu=c.$ Det vil sige at spredningen ikke afhænger af middelværdien $\mu.$ Nedenfor er tre eksempler med en funktion $\theta$ af de to variable $\mu_1$ og $\mu_2.$ Første eksempel er $$\begin{aligned} \theta &= a\mu_1+b\mu_2,\qquad \hat\theta =a\hat\mu_1+b\hat\mu_2, \\ \text{std}(\hat\theta) & \approx \sqrt{\big(a\cdot\text{std}(\hat\mu_1)\big)^2+ \big(b\cdot\text{std}(\hat\mu_2)\big)^2+ 2ab\cdot\text{Cov}(\hat\mu_1,\hat\mu_2)}, \\ \text{std}_s(\hat\theta) & = \sqrt{\big(a\cdot\text{std}_s(\hat\mu_1)\big)^2+ \big(b\cdot\text{std}_s(\hat\mu_2)\big)^2+ 2ab\cdot\text{Cov}_s(\hat\mu_1,\hat\mu_2)}, \end{aligned}$$ andet eksempel $$\begin{aligned} \theta &= \mu_1\mu_2,\qquad \hat\theta =\hat\mu_1\hat\mu_2, \\ \text{std}(\hat\theta) & \approx |\theta|\sqrt{\big(\frac{\text{std}(\hat\mu_1)}{\mu_1}\big)^2+ \big(\frac{\text{std}(\hat\mu_2)}{\mu_2}\big)^2+ 2\frac{\text{Cov}(\hat\mu_1,\hat\mu_2)}{\mu_1\mu_2}}, \\ \text{std}_s(\hat\theta) & = |\hat\theta|\sqrt{\big(\frac{\text{std}_s(\hat\mu_1)}{\hat\mu_1}\big)^2+ \big(\frac{\text{std}_s(\hat\mu_2)}{\hat\mu_2}\big)^2+ 2\frac{\text{Cov}_s(\hat\mu_1,\hat\mu_2)}{\hat\mu_1\hat\mu_2}}, \end{aligned}$$ og tredje eksempel $$\begin{aligned} \theta &= \frac{\mu_1}{\mu_2},\qquad \hat\theta =\frac{\hat\mu_1}{\hat\mu_2}, \\ \text{std}(\hat\theta) & \approx |\theta|\sqrt{\big(\frac{\text{std}(\hat\mu_1)}{\mu_1}\big)^2+ \big(\frac{\text{std}(\hat\mu_2)}{\mu_2}\big)^2- 2\frac{\text{Cov}(\hat\mu_1,\hat\mu_2)}{\mu_1\mu_2}}, \\ \text{std}_s(\hat\theta) & = |\hat\theta|\sqrt{\big(\frac{\text{std}_s(\hat\mu_1)}{\hat\mu_1}\big)^2+ \big(\frac{\text{std}_s(\hat\mu_2)}{\hat\mu_2}\big)^2- 2\frac{\text{Cov}_s(\hat\mu_1,\hat\mu_2)}{\hat\mu_1\hat\mu_2}}. \end{aligned}$$ For en funktion af blot en enkelt variabel, $\theta=f(\mu),$ behøver vi ikke at bruge Resultat 3.10.1 til at lave et konfidensinterval for $\theta$. Hvis $\big[\hat\mu_{\text{nedre}},\,\hat\mu_{\text{øvre}}\big]$ er et 95%-konfidensinterval for $\mu,$ og hvis $f$ er en voksende funktion, så vil $[\hat\theta_{\text{nedre}},\,\hat\theta_{\text{øvre}}]= \big[f(\hat\mu_{\text{nedre}}),\,f(\hat\mu_{\text{øvre}})\big]$ være et 95%-konfidensinterval for $\theta.$ ForegåendeNæste