Hvis to grupper af forskere hver har lavet et eksperiment til bestemmelse af en parameter, vil det være af interesse at kombinere de to skøn til et fælles (bedre) skøn. Som et eksempel kan vi se på bestemmelsen af lysets hastighed. Newcomb lavede et eksperiment i 1883 med 64 gentagne målinger. Michelson foretog i 1880 23 gentagne målinger af lyshastigheden og reviderede disse i 1883, da han hørte om Newcombs eksperiment. Resultaterne af de to eksperimenter er opsummeret i følgende tabel, hvor den målte lyshastighed er omregnet til lyshastigheden i det tomme rum og fratrukket $299000\,\text{km/s}.$. Den korrekte værdi af lyshastigheden på denne skala er 792.5. $$\begin{array}{lcccc} \hline \text{Eksperiment} & n & \text{Skøn} & \text{Spredning} & \text{Standard Error} \\ \hline \text{Newcomb} & 64 & 856.1 & 61.3 & 7.7 \\ \text{Michelson} & 23 & 838.2 & 107.1 & 22.3 \\ \hline \end{array}$$ Vi kan formulere problemstillingen generelt, som at vi ønsker at finde værdien af en parameter $\mu,$ og vi har til rådighed to eksperimenter, der har givet skønnene $\hat\mu_1$ og $\hat\mu_2.$ Data er gengivet i følgende tabel. $$\begin{array}{lccc} \hline & \text{Skøn} & \text{Spredning} & \text{Standard Error} \\ \hline \text{Eksperiment 1} & \hat\mu_1 & \text{std}(\hat\mu_1) & \text{std}_s(\hat\mu_1) \\ \text{Eksperiment 2} & \hat\mu_2 & \text{std}(\hat\mu_2) & \text{std}_s(\hat\mu_2) \\ \hline \end{array}$$ Et første forsøg på at lave et fælles skøn kunne være blot at bruge et simpelt gennemsnit $\frac{1}{2}(\hat\mu_1+\hat\mu_2).$ Dette tager imidlertid ikke hensyn til, at der kan være forskel på, hvor velbestemte de to skøn er. Hvis det ene skøn har en meget mindre usikkerhed end det andet skøn, bør vi lægge mere vægt på det første. Vi kan lade os guide af princippet i Definition 2.1.1. Hvis vi siger, at de to skøn (approksimativt) er normalfordelte, vil det fælles skøn blive $$\hat\mu=\frac{\hat\mu_1/\text{std}(\hat\mu_1)^2+ \hat\mu_2/\text{std}(\hat\mu_2)^2}{1/\text{std}(\hat\mu_1)^2+ 1/\text{std}(\hat\mu_2)^2}.$$ Vi laver således et vægtet gennemsnit, hvor vægten er 1 divideret med variansen, hvis variansen er stor, får skønnet en lav vægt. I praksis kender vi ikke varianserne og bruger i stedet de kvadrerede standard errors. Dette giver formlen $$\hat\mu=\frac{\hat\mu_1/\text{std}_s(\hat\mu_1)^2+ \hat\mu_2/\text{std}_s(\hat\mu_2)^2}{1/\text{std}_s(\hat\mu_1)^2+ 1/\text{std}_s(\hat\mu_2)^2}.$$ Hvad er usikkerheden på dette fælles skøn ? Vi kan bruge ophobningloven til at lave en approximation for usikkerheden, hvilket giver $$\text{std}_s(\hat\mu)=\frac{1}{ \sqrt{1/\text{std}_s(\hat\mu_1)^2+ 1/\text{std}_s(\hat\mu_2)^2} }.$$ Før man laver et fælles skøn, vil man overveje, om resultaterne fra de to eksperimenter er i indbyrdes overensstemmelse. Til dette bruger man en standardiseret forskel $$t=\frac{\hat\mu_1-\hat\mu_2}{ \sqrt{\text{std}_s(\hat\mu_1)^2+\text{std}_s(\hat\mu_2)^2}},$$ hvor denne forventes approksimativt at være standard normalfordelt. I kommer til at se nærmere på denne teststørrelse i afsnit 6.3. I fysikfaget siger man ofte, at de to skøn er kompatible, hvis $|t|<1.$ Dette er meget restriktivt, idet man i så fald vil afvise cirka 32% af tilfældene, hvor de underliggende parameterværdier er ens, hvorimod i denne bog bruger vi i stedet en grænse, så vi kun afviser 5% af tilfældene. ForegåendeNæste   

• Øvelse 3:
• Kemi
• Fysik