Regressionsmodellen $X_i\sim N(\alpha+\beta t_i,\sigma^2),$ $i=1,\ldots,n,$ analyseres med funktionen ols i python og fitlm i MATLAB. Her står ols for ordinary least squares og lm står for lineær model. Input til de to funktioner består af en datatabel og en modelformel. I regressionsmodellen her, hvor vektoren med responsværdierne hedder $x$ og vektoren med værdierne af den forklarende variabel hedder $t,$ er modelformlen blot "x$\sim$t". Generelt skal der på venstresiden af tildesymbolet i en modelformel stå navnet på responsvariablen og på højre side skal strukturen af middelværdien angives. For den lineære regressionsmodel angives middelværdien $E(X)=\alpha+\beta t$ ved blot at skrive navnet på regressionsvariablen. I MATLAB laver fitlm automatisk et passende output, hvorimod man i python skal anvende en funktion til at danne output ud fra beregningerne fra ols. Hertil har jeg lavet en funktion summaryLM, der danner et output identisk med output fra fitlm. Idet data ligger i en datatabel, der indeholder en søjle med navnet $x$ og en søjle med navnet $t,$ laves analysen af regressionsmodellen med følgende kommandoer $$\begin{array}{rl} \text{Python:} & \text{from statsmodels.formula.api import ols} \\ & \text{from pytFunktioner import *} \\ & \text{lmUD=ols(data=mydata,formula='x}\sim\text{t').fit()} \\ & \text{summaryLM(lmUD)}\\ & \\ \text{MATLAB:} & \text{lmUD=fitlm(mydata,'x}\sim\text{t')} \\ & \text{coefCI(lmUD)} \end{array}$$ De variabelnavne, der optræder i modelformlen, skal være navne på søjler i mydata. Ofte vil indlæsningen af data give en datatabel, der allerede indeholder de relevante variable. I modsat fald, hvis responsværdierne ligger i en vektor xvek, og værdierne af den forklarende variabel ligger i en vektor tvek, konstrueres datatabellen som følger (i MATLAB skal vektorerne i table være søjlevektorer): $$\begin{array}{rl} \text{Python:} & \text{import pandas as pd} \\ & \text{mydata=pd.DataFrame(}\{\text{'x':xvek,'t':tvek}\}\text{)} \\ & \\ \text{MATLAB:} & \text{mydata=table(xvek,tvek,'VariableNames',}\{ \text{'x','t'}\}\text{);} \end{array}$$ Her, og i modelformlen, er brugt navnene $x$ og $t$, men i anvendelser vil man typisk bruge mere beskrivende navne. Den vigtigste del af output er en parametertabel (Estimated Coefficients), hvor hver række svarer til en parameter i middelværdimodellen, i den lineære regressionsmodel er dette skæring $\alpha$ og hældning $\beta$, navngivet som Intercept og med navnet på den forklarende variabel, i kaldet ovenfor $t.$ Tabellen har søjler med parameterskøn, standard error, $t\text{-}$teststørrelse og en $p$-værdi. Søjleoverskrifterne er som følger: $$\begin{array}{rrrrr} \text{Python:} & \text{Coef.} & \text{Std.Err.} & \text{t} & \text{P>|t|}\\ \text{MATLAB:} & \text{Estimate} & \text{SE} & \text{tStat} & \text{pValue} \end{array}$$ Søjlen med standard error angiver et skøn over spredningen på parameterskønnet jævnfør formlerne for $\text{std}_s$ i Resultat 7.3.1. For at teste hypotesen, at den sande parameterværdi er nul, laves en $t$-teststørrelse, som netop er parameterskøn divideret med standard error. Endelig er søjlen med $p$-værdier fremkommet ved at slå op i en $t$-fordeling med det relevante antal frihedsgrader. Antallet af frihedsgrader, såvel som skønnet $s_r$ over spredningen af punkterne omkring linjen, kan aflæses i teksten under parametertabellen: $$\begin{array}{rl} \mathit{Error\,\,degrees\,\,of\,\,freedom}:&\text{angiver frihedsgrader,} \\ \mathit{Root\,\,Mean\,\,Squared\,\,Error}:&\text{angiver spredningsskøn.} \end{array}$$ Desuden har output fra ols i python to yderligere søjler med nedre og øvre endepunkter i 95%-konfidensintervallet for middelværdiparameteren. I MATLAB fås disse konfidensintervaller med den yderligere kommando coefCI(lmUD), hvor rækkerne svarer til rækkerne i parametertabellen.Ved hjælp af kodeord (navne) kan man udtrække ønskede elementer fra output i lmUD. Følgende tabel viser de vigtigste muligheder. $$\begin{array}{lrr}\hline \text{Element} & \text{Python} & \text{MATLAB} \\ \hline s_r & \text{np.sqrt(lmUD.mse\textunderscore resid)} & \text{lmUD.RMSE} \\ \text{Frihedsgrader} & \text{lmUD.df\textunderscore resid} & \text{lmUD.DFE} \\ \text{Parameterskøn} & \text{lmUD.params} & \text{lmUD.Coefficients.Estimate} \\ \text{Standard errors} & \text{lmUD.bse} & \text{lmUD.Coefficients.SE} \\ \text{Forventede værdier} & \text{lmUD.fittedvalues} & \text{lmUD.Fitted} \\ \text{Residualer} & \text{lmUD.resid} & \text{lmUD.Residuals.Raw} \\ \text{Konfidensintervaller} & \text{lmUD.conf\textunderscore int()} & \text{coefCI(lmUD)} \\ \hline \end{array}$$

7.4.1 Regressionsanalyse via ols/fitlm, modelkontrol

ForegåendeNæste