For at forstå det fundamentale princip i Ophobningsloven kan vi nøjes med at se på en transformation af en enkelt måling. Lad $\hat\mu$ være et skøn (måling) over en parameter $\mu$, og lad $\theta=f(\mu)$ være en transformeret parameter af interesse, hvor $f$ er en kendt funktion. Som skøn over $\theta$ bruger vi $\hat\theta=f(\hat\mu).$ Ud fra en første ordens taylorudvikling har vi $$\hat\theta=f(\hat\mu)\approx f(\mu)+f^\prime(\mu)(\hat\mu-\mu),$$ hvor $\approx$ betyder, at venstresiden approksimativt er lig med højresiden. Approksimationen kan bruges, hvis spredningen på $\hat\mu$, såvel som krumningen af funktionen $f$ i punktet $\mu$, ikke er for store. Hvis nu vi flytter $f(\mu)$ over på venstresiden, kvadrerer begge sider og tager middelværdi, får vi $$\text{std}(\hat\theta)^2\approx f^\prime(\mu)^2\cdot \text{std}(\hat\mu)^2.$$ Når denne formel skal bruges i praksis, ertattes $\mu$ med $\hat\mu$ i $f^\prime(\mu)$, og $\text{std}(\hat\mu)$ erstattes med et skøn over denne, som vi betegner med $\text{std}_s(\hat\mu)$ (standard error). Vi skriver da ophobningsloven som $$\text{std}_s(\hat\theta)^2 \approx f^\prime(\hat\mu)^2 \cdot \text{std}_s(\hat\mu)^2,$$ som med fysiknotation skrives som $$\sigma_\theta^2\approx f^\prime(\hat\mu)^2 \sigma_\mu^2.$$ Standard error for $\hat\theta$ fortæller, hvor velbestemt skønnet $\hat\theta$ er. I de foregående kapitler har jeg vænnet jer til at angive, hvor velbestemt et skøn er gennem et konfidensinterval. For beregninger relateret til ophobningsloven er der tradition for at angive et approksimativt konfidensinterval ved hjælp af standard error.

Baggrund for approksimation

Normalt laver man ikke 68%-konfidensintervaller, men grunden til at jeg nævner disse er, at det er standard i fysik at angive et resultat som "skøn plusminus standard error". Man kan enten læse dette, som at man angiver de to tal "skøn" og "standard error", og hvor $\pm$ blot er en adskillelse, eller man kan læse det som et konfidensinterval, som angivet i ovenstående resultat. ForegåendeNæste