I alle eksemplerne ovenfor omkring to normalfordelte observationssæt er de forskellige tests lavet ved at bruge python som en lommeregner. I python laves disse test med funktionen ttest$\text{\textunderscore}$ind fra scipy.stats-modulet. Denne funktion laver imidlertid ikke det tilhørende konfidensinterval, og jeg har derfor selv kodet en funktion ttest2, som også er navnet på den tilsvarende funktion i MATLAB. Funktionen ligger i pytFunktioner.py omtalt i afsnit 1.6. I Statistisk Model 6.1.1 med to normalfordelte observationssæt kan man lave $F$-testet for hypotesen om ens varianser i MATLAB med funktionen vartest2. Python har ikke en tilsvarende funktion og jeg har derfor selv kodet en funktion med det samme navn. Funktionen ligger i pytFunktioner.py. Hvis data ligger i to vektorer x og y bliver kaldet $$\begin{array}{rl} \text{Python:} & \text{fUD=vartest2(x,y)} \\ \text{MATLAB:} & \text{[h,p,ci,stats]=vartest2(x,y)} \\ \end{array}$$ De forskellige dele af output er som følger: $$\begin{array}{lrrr}\hline \text{Værdi} & \text{Python} & \text{MATLAB} \\ \hline F\text{-teststørrelsen} & \text{fUD.fstat} & \text{stats.fstat} \\ \text{Frihedsgrader} & \text{fUD.df1,fUD.df2} & \text{stats.df1,stats.df2} \\ P\text{-værdi} & \text{fUD.p} & \text{p} \\ \text{Nedre grænse} & \text{fUD.lower} & \text{ci(1)} \\ \text{Øvre grænse} & \text{fUD.upper} & \text{ci(2)} \\ \hline \end{array}$$ Det 95%-konfidensinterval, der angives i output, er for forholdet mellem de to variansparametre $\sigma_1^2/\sigma_2^2$ (dette konfidensinterval har jeg ikke omtalt ovenfor). Gå nu tilbage til Eksempel 6.4.3, og find de beregnede værdier der i output fra et kald af vartest2.

6.5.1 Teste to varianser ens

For at teste at middelværdierne er ens i to normalfordelinger, skal man enten bruge $t$-testet, hvis de to varianser er ens, eller også bruge Welchs test, hvis de to varianser ikke er ens. Begge de to tests udregnes med funktionen ttest2. Hvis data ligger i to vektorer x1 og x2, bliver kaldet i tilfældet, hvor varianserne antages ens: $$\begin{array}{rl} \text{Python:} & \text{tUD=ttest2(x1,x2,varequal=True)} \\ \text{MATLAB:} & \text{[h,p,ci,stats]=ttest2(x1,x2,'Vartype','equal')} \\ \end{array}$$ Hvis de to varianser antages forskellige skal man ændre True til False, henholdsvis ændre 'equal' til 'unequal'. De forskellige dele af output er som følger: $$\begin{array}{lrrr}\hline \text{Værdi} & \text{Python} & \text{MATLAB} \\ \hline T\text{-teststørrelsen} & \text{tUD.tstat} & \text{stats.tstat} \\ \text{Frihedsgrader} & \text{tUD.df} & \text{stats.df} \\ P\text{-værdi} & \text{tUD.p} & \text{p} \\ \text{Skøn over differens} & \text{tUD.est} & \text{} \\ \text{Nedre grænse} & \text{tUD.lower} & \text{ci(1)} \\ \text{Øvre grænse} & \text{tUD.upper} & \text{ci(2)} \\ \hline \end{array}$$ Nedre og øvre grænse er for et 95%-konfidensinterval for forskel i middelværdi mellem gruppe 1 og gruppe2, det vil sige for parameteren $\delta=\mu_1-\mu_2.$ Gå nu tilbage til Eksempel 6.2.2 og Eksempel 6.3.2 og gentag beregningerne ved hjælp af ttest2.

6.5.2 Teste to middelværdier ens

I eksempel 6.2.2 så vi, at mængden af ekstraheret cell free DNA var næsten dobbelt så stor ved Triton-metoden som ved Qiagen-metoden. Den empiriske spredning ved Triton-metoden er også noget højere end den empiriske spredning ved Qiagen-metoden, selvom et formelt test for hypotesen om ens varianser vil give en $p$-værdi over 0.05. At middelværdi og spredning "følges ad" er ikke helt atypisk, når data vedrører en positiv størrelse (her mængde). I sådanne situationer vil der ofte ske det, at hvis data logaritmetransformeres, vil der efterfølgende være større lighed mellem varianserne. Lad os betegne logaritmen til mængden af ekstraheret CFDNA med henholdsvis $\text{logQia}_{i}$ og $\text{logTri}_{i}$ for den $i$'te prøve i de to grupper. Vi betragter Statistisk Model 6.1.1, her skrevet som $$\begin{aligned} \text{LogQia}_i & \sim N(\nu_1,\tau_1^2),\enspace i=1,\ldots,14, \\ \text{LogTri}_i & \sim N(\nu_2,\tau_2^2),\enspace i=1,\ldots,20,\\ & (\nu_{1},\nu_{2},\tau_{1},\tau_{2})\in \mathbf{R}^2\times\mathbf{R}_+^2, \end{aligned}$$ hvor $\nu_j$ er middelværdien af logaritmen til mængden. Man kan matematisk vise sammenhængen $\mu_j=\exp(\nu_j+\frac{1}{2}\tau_j^2),$ hvor $\mu_j$ er middelværdien af mængden. I kodevinduet nedenfor laves der qqplots for de logaritmetransformerede data, og disse giver ikke anledning til at forkaste modellen. Først undersøges hypotesen om samme varians i de to grupper for de logaritmetransformerde værdier. Beregningen er vist i kodevinduet nedenfor: $F$-teststørrelsen er 1.3427, og $p$-værdien (to gange sandsynlighed for værdi større end 1.3427) fra en $F(13,19)$-fordeling er 0.54. Da $p$-værdien er langt over 0.05, siger vi, at data ikke strider mod samme varians på logaritmeskalaen.I kodevinduet laves der også et 95%-konfidensinterval for forskel i middelværdi mellem gruppe 1 og gruppe2, $\delta=\nu_1-\nu_2,$ under antagelsen om samme varians. Konfidensintervallet er baseret på $t(32)$-fordelingen, og bliver $[-0.897,\, -0.586].$ Vi kan oversætte dette konfidensinterval til et konfidensinterval for forholdet mellem middelværdierne på den oprindelige skala. For data omkring mængden af CFDNA giver dette resultat 95%-konfidensintervallet $[e^{-0.897},\,e^{-0.586}]=[0.41,\, 0.56].$ Her står, at med 95% sikkerhed er middelværdien af mængden af CFDNA ved Qiagen-metoden mellem 41% og 56% af middelværdien ved brug af Triton-metoden.

Beregninger i python

ForegåendeNæste