Vi vender tilbage til data omkring mængden af ekstraheret cell free DNA, baseret på to protokoller Qiagen og Triton, beskrevet i indledningen til kapitel 6. Lad $\text{Qia}_i$ og $\text{Tri}_i$ betegne de tilhørende stokastiske variable, og betragt Statistisk Model 6.1.2 skrevet her som $$\begin{aligned} \text{Qia}_i & \sim N(\mu_1,\sigma^2),\enspace i=1,\ldots,14, \\ \text{Tri}_i & \sim N(\mu_2,\sigma^2),\enspace i=1,\ldots,20, \end{aligned}$$ hvor $(\mu_1,\mu_2,\sigma)$ kan variere frit. Fra data udregnes de følgende størrelser (beregningerne er lavet i kodevinduet længere fremme), $$\begin{aligned} \overline{\text{qia}} &=18.4714 , & s_{\text{qia}} &=4.3512 , \\ \overline{\text{tri}} &=38.4750 , & s_{\text{tri}} &=7.1083 , \\ s^2 &=37.692 , & s & =6.139 , \end{aligned}$$ hvor $s^2$ er det fælles variansskøn fra (6.1.1). Forfatterne ønsker at undersøge, om data peger på en forskel i de to protokoller for ekstrahering. Dette kan formuleres som hypotesen, at de to middelværdier er ens, $\mu_1=\mu_2,$ og vi ønsker ikke på forhånd at lægge os fast på et alternativ i en bestemt retning, således at alternativet er $\mu_1\neq\mu_2.$ $T$-teststørrelsen for denne hypotese bliver $$t_{\text{obs}}=\frac{18.4714-38.4750}{\sqrt{37.692(1/14+1/20)}}=-9.35 ,$$ og den tilhørende $p$-værdi fra en $t(14+20-2)$-fordeling er $$p\text{-værdi}=2\cdot 5.7\cdot 10^{-11}= 1.14\cdot 10^{-10}.$$ Da denne er meget mindre end 0.05, bliver konklusionen, at data strider mod samme middelværdi, og da $\overline{\text{qia}}<\overline{\text{tri}},$ tyder data altså på, at der i middel ekstraheres mindre CFDNA med Qiagen-metoden sammenlignet med Triton-metoden. Vi kan kvantificere forskellen i middelværdi mellem Qiagen og Triton ved at lave et 95%-konfidensinterval. Hertil bruges 97.5%-fraktilen i en $t(32)$-fordeling, $t_0=t_{\text{inv}}(0.975,32)=2.0369,$ og konfidensintervallet bliver $$18.4714-38.4750\pm 2.0369\cdot\sqrt{37.692(1/14+1/20)} =[-24.36,\, -15.65].$$ Med 95% sikkkerhed ligger middelværdien af den ekstraherede mængde CFDNA ved Qiagen-metoden mellem 15.7 og 24.4 (procentpoint) under middelværdien ved Triton-metoden. Man taler somme tider om forskel i middelværdi divideret med spredning som standardiseret effektstørrelse, og en effektstørrelse større end 1 anses for stor. I tilfældet her er skønnet over den standardiserede effektstørrelse $(38.4750-18.4714)/6.139=3.3,$ som derfor vil omtales som en stor effekt.

Beregninger i python