I de forskellige $G$-tests i dette kapitel blev $p$-værdien beregnet fra en $\chi^2$-fordeling under en antagelse om, at alle de forventede antal er større end eller lig med 5. Hvis dette krav ikke er opfyldt, bruges sommetider en svagere regel, der siger, at de forventede skal alle være større end 1 og højst 20% må være under 5. Reglen må kun bruges, hvis antallet af frihedsgrader er større end 1. Dette kaldes Cochran regel.Hvis heller ikke Cochran regel er opfyldt i forbindelse med homogenitetstestet, kan man benytte et andet test, der kaldes Fishers eksakte test. Jeg vil ikke beskrive testet her, men blot nævne, at for en $2\times 2$ tabel er testet implementeret både python.

Chi-square test i stedet for G-test

I afsnit 3.7 betragtede jeg homogenitetshypotesen i statistisk model 3.6.2 for data fra flere multinomialfordelinger. Andre hypoteser kan også være af interesse, men princippet for test af disse er det samme. Teststørrelsen bliver som i (3.7.1) hvor de forventede $e_{ij}$ skal beregnes under den relevante hypotese. Antallet af frihedsgrader bliver $$\mathit{df}=r(k-1)-d,$$ hvor vi betragter $r$ multinomialmodeller, der hver inddeler i $k$ kasser, og $d$ angiver antallet af parametre i den hypotese der testes. Et eksempel er den logistiske dosis-respons model, hvor $k=2$, og hypotesen er $$\pi_{i1}=\frac{e^{\alpha+\beta t_i}}{1+e^{\alpha+\beta t_i}}\enspace \text{og}\enspace \pi_{i2}=\frac{1}{1+e^{\alpha+\beta t_i}},\enspace i=1,\ldots,r,$$ hvor $t_i$-erne er kendte tal (dosis, typisk på en log-skala). I denne hypotese er der $d=2$ parametre. Skønnene $(\hat\alpha,\hat\beta)$ over de to parametre kan ikke opskrives eksplicit og må findes ved en numerisk søgerutine. Når man inddeler $n$ observationer efter to inddelingskriterier, hvor det ene inddeler i $r$ kasser og det andet i $k$ kasser, betragter man multinomialmodellen med i alt $r\cdot k$ kasser, som vi for overskuelighedens skyld kalder celler. Det vil være naturligt at bruge et dobbeltindeks, således at $A_{ij}$ angiver antallet, der falder i kasse $i$ med hensyn til det første inddelingskriterie og i kasse $j$ med hensyn til det andet inddelingskriterie, altså dem der falder i celle $(i,j)$. Sandsynligheden for at falde i celle $(i,j)$ kalder vi $\gamma_{ij}$, $\gamma_{ij}\geq 0,$ $\sum_{i,j}\gamma_{ij}=1$. Lad nu $\alpha_i$, $i=1,\ldots,r$, være sandsynligheden for, at en observation falder i kasse $i$ med hensyn til det første inddelingskriterie, og lad $\beta_j$, $j=1,\ldots,k$, være sandsynligheden for, at en observation falder i kasse $j$ med hensyn til det andet inddelingskriterie, $$\alpha_i\geq 0,\,\,\sum_{i=1}^r\alpha_i=1,\quad \beta_j\geq 0,\,\,\sum_{j=1}^k\beta_j=1.$$ Hypotesen om uafhængige inddelingskriterier siger, at $$\gamma_{ij}=\alpha_i\beta_j,\,\, 1=1,\ldots,r,\,\, j=1,\ldots,k.$$ Man kan vise matematisk, at likelihood ratio teststørrelsen på formen $G=-2\log(Q)$ er identisk med $G$-teststørrelsen (3.7.1) for homogenitetstestet i $r$ multinomialfordelinger. Man kan derfor bruge Resultat 3.7.1 også i situationen beskrevet her. Som beskrevet i afsnit 2.5 bruges poissonmodellen ofte til at beskrive antallet af hændelser over et tidsrum, hvor hændelserne kommer tilfældigt i tid. Hvis vi har to "kilder", der hver sender hændelser ud, kan vi være interesseret i at undersøge, om den forventede rate af hændelser er den samme for de to kilder. Hvis vi forestiller os, at de to kilder er skjulte for os, og at vi blot har to kasser (kasse 1 og 2), hvor der en gang imellem kommer en hændelse i den ene kasse og og en gang imellem i den anden kasse, så vil en given ankomst være i kasse 1 med sandsynlighed $\lambda_1/(\lambda_1+\lambda_2)$ og i kasse 2 med sandsynlighed $\lambda_2/(\lambda_1+\lambda_2)$, hvor $\lambda_1$ og $\lambda_2$ er de to rater. Dette ligner en binomialsituation, hvor man i hvert kast kan lande enten i kasse 1 eller kasse 2. Hvis vi derfor laver det tankeeksperiment, at vi holder det samlede antal hændelser fast, lad os sige $A_1+A_2=n$, så vil fordelingen af $A_1$ i dette tankeeksperiment være $A_1\sim\text{binom}(n,p),$ med $p=\lambda_1/(\lambda_1+\lambda_2).$ En hypotese om samme rate $\lambda_1=\lambda_2$ vil nu svare til hypotesen $p=\frac{1}{2}$ i binomialmodellen. Dette bruger vi i praksis: hvis vi vil sammenligne raterne i flere poissonfordelinger overfører vi dette til et test om sandsynlighederne i en multinomialmodel. Den generelle formulering følger her. I specialtilfældet med $t_1=\cdots=t_k=1$ tester vi således hypotesen om ligelig fordeling på de $k$ kasser, $\pi_i=\frac{1}{k},$ $i=1,\ldots,k.$ For at lave testet i multinomialmodellen bruger vi Resultat 3.3.1 med $d=0.$I specialtilfældet med $k=2$ poissonrater og $X_1\sim\text{binom}(n,p)$, $n=X_1+X_2$ og $p=t_1\lambda_1/(t_1\lambda_1+t_2\lambda_2)=t_1/(t_1+t_2\lambda_2/\lambda_1)$, kan vi overføre et konfidensinterval for $p$ til et konfidensinterval for forholdet $\theta=\lambda_2/\lambda_1$ mellem de to rateparametre. Hvis konfidensintervallet for $p$ er $[p_-,p_+]$ bliver konfidensintervallet for $\theta$, $$\Big[ \frac{(1-p_+)t_1}{p_+ t_2},\, \frac{(1-p_-)t_1}{p_- t_2} \Big].$$ ForegåendeNæste   

Opgaver