Jeg vender tilbage til Cavendish's eksperiment til bestemmelse af Jordens massetæthed i eksempel 4.2.1. Der er foretaget 23 uafhængige målinger af massetætheden. Vi lader $v_i$ være den $i$'te måling af tætheden og benytter Statistisk Model 4.3.1, med $X_i$ erstattet af $V_i$: $$\text{Model:}\quad V_i\sim N(\mu,\sigma^2),\enspace i=1,\ldots,23,\enspace (\mu,\sigma)\in\mathbf{R}\times\mathbf{R}_+.$$ Ønsket er at teste hypotesen $\mu=5.517$ mod alternativet $\mu\neq 5.517,$ hvor 5.517 er den anerkendte værdi af tætheden. Fra python-beregninger nedenfor fremgår, at $\bar v=5.483,$ og den empiriske spredning er $s=0.190.$ Herudfra beregnes $t$-teststørrelsen $t=(5.483-5.517)/(0.190/\sqrt{23})=-0.858.$ $P$-værdien i $t$-testet findes som $p\text{-værdi}=2\cdot t_{\text{cdf}}(-0.858,22)=0.400.$ Da $p$-værdien er langt over 0.05, konkluderer vi, at data ikke strider mod hypotesen om en middelværdi på 5.517. Cavendish har altså været i stand til at lave et eksperiment, der stemmer overens med moderne målinger af Jordens massetæthed. Lad os også lave et 95%-konfidensinterval for middelværdien som et udtryk for præcisionen i eksperimentet. Ved opslag (i python) finder vi, at 97.5%-fraktilen i en $t(22)$-fordeling er $t_0=2.074$ Dermed bliver konfidensintervallet for middelværdien af målingerne $5.483\pm 2.074\cdot 0.190/\sqrt{23}=[5.401,\, 5.565].$ Baseret på Cavendish's eksperiment vil vi således sige at Jordens massetæthed ligger med 95% sikkerhed et sted mellem 5.483 og 5.565. Bemærk udtrykket med 95% sikkerhed, som blot er en anden måde at sige, at det er et 95%-konfidensinterval. Man må ikke sige med 95% sandsynlighed, hvilket giver intryk af, at parameteren (her Jordens massetæthed) er stokastisk.I kodevinduet nedenfor er vist de nødvendige beregninger i python (i afsnit 4.7 omtales en funktion i python, der kan lave alle beregningerne).

Spørgsmål

ForegåendeNæste