I nogle situationer kan man være specielt interesseret i linjens værdi for bestemte værdier af den forklarende variabel $t.$ I eksemplet, vi har betragtet, med en ny måde at måle forureningsgraden i vandprøver kan det være, at man vil oversætte en grænseværdi på antallet af E.coli bakterier til en grænseværdi på GLUase aktiviteten. Dette kan formuleres på den måde, at i modellen $X_i\sim N(\alpha+\beta t_i,\sigma^2),$ $i=1,\ldots,n,$ vil vi gerne sige noget om parameteren $\xi_*=\alpha+\beta t_*,$ hvor $t_*$ er en given værdi af den forklarende variabel. Som skøn over linjens værdi bruges $\hat\xi_*=\hat\alpha+\hat\beta t_*.$ På samme måde som i Resultat 7.2.1 kan man indse, at $\hat\xi_*\sim N\big(\xi_*,\sigma^2 \big(\frac{1}{n}+\frac{(t_*-\bar t)^2}{\mathit{SSD}_t}\big)\big).$ Som i Resultat 7.3.1 kan vi derfor lave test for værdien af $\xi_*,$ og vi kan lave et 95%-konfidensinterval. Det sidste er på formen $$\hat\xi_*\pm t_0\cdot\text{std}_s(\hat\xi_*),\quad \text{std}_s(\hat\xi_*)= s_r\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{(t_*-\bar t)^2}{\mathit{SSD}_t}},\quad t_0=t_{\text{inv}}(0.975,n-2).$$ Man omtaler ofte $\hat\xi_*$ som en prædikteret værdi og intervallet som et konfidensinterval for prædiktionen. Derudover taler man også om et prædiktionsinterval, som er bredere end ovenstående konfidensinterval. Et 95%-prædiktionsinterval er et interval, der vil indeholde en kommende observation med sandsynlighed 0.95. Hvis $X_*\sim N(\alpha+\beta t_*,\sigma^2),$ skal der laves et interval, der indeholder $X_*$ med sandsynlighed 0.95. Hertil benyttes, at $\hat\xi_*-X_*\sim N\big(0,\sigma^2\big(1+\frac{1}{n}+ \frac{(t_*-\bar t)^2}{\mathit{SSD}_t}\big)\big).$ Ud fra dette kan vi konstruere en "$t$-teststørrelse": $$\frac{\hat\xi_*-X_*}{\text{std}_{\text{præ}}},\quad \text{std}_{\text{præ}}= s_r\sqrt{1+\frac{1}{n}+\frac{(t_*-\bar t)^2}{\mathit{SSD}_t}},$$ og lave prædiktionsintervallet som $$\hat\xi_*\pm t_0\cdot\text{std}_{\text{præ}},\quad t_0=t_{\text{inv}}(0.975,n-2).$$ Lad os nu se på beregningen af et konfidensinterval for linjens værdi, og et prædiktionsinterval for en kommende observation, i python. Input til de relevante funktioner er output fra estimationen af den lineære regressionsmodel, kaldet lmUD i foregående afsnit, samt et datasæt med de nye værdier af den forklarende variabel hvori vi ønsker at foretage beregningen. De nye værdier skal stå som en søjle i datasættet og navnet på søjlen skal være det samme som navnet på den forklarende variabel i det oprindelige datasæt til estimationen af modellen. Nedenfor vises konstruktionen af det ny datasæt, hvor navnet på den forklarende variabel er $t$, og konstruktionen af et konfidensinterval for linjens værdi eller et prædiktionsinterval for en kommende observation, idet resultatet fra estimationen af regressionsmodellen ligger i lmUD. $$\begin{array}{l} \text{nyData=pd.DataFrame(}\{\text{'t':[nye værdier]}\}\text{)} \\ \text{predUD=lmUD.get\textunderscore prediction(nyData)}\\ \text{print(predUD.predicted\textunderscore mean)}\\ \text{print(predUD.conf\textunderscore int(obs=True))}\\ \text{print(predUD.conf\textunderscore int(obs=False))} \end{array}$$ Hvis der er $k$ nye værdier i nyData giver python med predicted$\text{\textunderscore}$mean en vektor af længde $k$ med skøn over linjens værdi, conf$\text{\textunderscore}$int(obs=False) giver en $k\times 2$ matrix med konfidensintervaller for linjens værdi, og conf$\text{\textunderscore}$int(obs=True) giver en $k\times 2$ matrix med prædiktionsintervaller for en kommende observation. For den lineære sammenhæng givet ved $E(X)=\alpha+\beta t$ tænker man for det meste på relationen på den måde at $t$ måles og dette giver os information om $E(X)$. I nogle situationer er vi imidlertid interesseret i at gå den modsatte vej, altså fra $E(X)$ til $t.$ Et eksempel på dette er efter et trafikuheld, hvor politiet måler længden af et bremsespor for at regne tilbage til hastigheden. Vi benytter således relationen $t=(E(X)-\alpha)/\beta.$ Brugen af regressionsmodellen på denne måde kendes også fra kemi. I kemi bruges lineære sammenhænge ofte til at lave et "måleapperat", hvor værdien af den forklarende variabel bestemmes ud fra respons (omtales ofte som "invers regression"). Når den lineære regressionsmodel etableres ud fra data, taler man om at kalibrere målemetoden. For eksempel kan man have lavet en række prøver med en kendt koncentration af et stof og målt intensiteten af lys efter passage af prøven. Typisk vil der være en lineær sammenhæng mellem logaritmen til lysintensiteten og koncentrationen. Efterfølgende kan man for en prøve med en ukendt koncentration måle lysintensiteten og lave skøn over koncentrationen ud fra den etablerede lineære sammenhæng. I vores eksempel i dette afsnit med forurenede vandprøver ønsker vi, efter at sammenhængen mellem GLUase og antal bakterier er etableret, at bruge sammenhængen til ud fra en måling af GLUase at sige, hvad antallet af bakterier er.Dette kan formuleres generelt på følgende vis. Ud fra de indsamlede data har vi estimeret parametrene i modellen $X_i\sim N(\alpha+\beta t_i,\sigma^2),$ $i=1,\ldots,n.$ For en ny værdi $\theta$ af den forklarende variabel $t$ betragtes $m$ målinger $Y_1,\ldots,Y_m$ fra modellen $Y_i\sim N(\alpha+\beta\theta,\sigma^2).$ Vi ønsker at lave inferens om $\theta$ baseret på både $X_1,\ldots,X_n$ og på $Y_1,\ldots,Y_m.$ Fra relationen $E(\bar Y)=\alpha+\beta\theta$ har vi $\theta=(E(\bar Y)-\alpha)/\beta,$ og som skøn over $\theta$ bruger vi derfor $\hat\theta=(\bar Y-\hat\alpha)/\hat\beta.$ Ved beregninger af samme type som i forbindelse med Resultat 7.3.1 kan man indse, at $$t(\theta)= \frac{\bar Y -\big(\hat\alpha+\hat\beta\theta\big)}{ s_r\sqrt{ \frac{1}{m}+\frac{1}{n}+ \frac{\big(\theta-\bar t\big)^2}{\mathit{SSD}_{t}} }} \sim t(n-2),$$ hvor $\bar Y=(Y_1+\cdots+Y_m)/m.$ Man kan derfor konstruere et 95%-konfidensinterval for $\theta$ som de værdier af $\theta,$ for hvilke $$-t_0\leq t(\theta)\leq t_0,\quad t_0=t_{\text{inv}}(0.975,n-2).$$ For at finde de relevante værdier af $\theta$ skal man løse en andengradsligning. Beregningerne er vist i kodevinduet nedenfor for data omkring forurening af vandprøver fra Eksempel 7.1.1. Der laves et konfidensinterval for $\log$-værdien af antallet af E.coli bakterier i tilfældet, hvor $\log$-værdien af GLUase aktiviteten er målt til 1.05. Beregningerne laves på den måde, at der først defineres en funktion inversReg, hvorefter denne funktion kaldes. Funktionen inversReg findes i filen pytFunktioner.py omtalt under punktet Egne funktioner i python i afsnit 1.6.

7.5.3 Invers regresion i python

ForegåendeNæste