Den ensidede variansanalysemodel (Statistisk Model 8.2.3) analyseres i python med funktionerne ols og summary2 og i MATLAB med funktionerne fitlm og coefCI, som er beskrevet i afsnit 7.4. Modelformlen, der bruges, er 'x~G', hvor $G$ er en faktor, der deler data op i grupper, og $x$ er en vektor med responsværdierne. Se det skjulte punkt nedenfor. For at forstå parametertabellen er det vigtigt at kende den parametrisering, som anvendes i beregningerne. For modellen i 8.2.3, med $k$ grupper, faktorniveauerne $1,2,\ldots,k$ og tilhørende middelværdiparametre $\mu_1,\ldots,\mu_k,$ benyttes i forbindelse med modelformlen 'x~G' følgende parametrisering og navngivning. $$\begin{array}{lccccc} \hline \text{Parameter} & \mu_1 & \mu_2-\mu_1 & \mu_3-\mu_1 & & \mu_k-\mu_{1} \\ \hline \text{Python} & \text{(Intercept)} & \text{G[T.2]} & \text{G[T.3]} & \cdots & \text{G[T.k]} \\ \text{MATLAB} & \text{(Intercept)} & \text{G\textunderscore 2} & \text{G\textunderscore 3} & \cdots & \text{G\textunderscore k} \\ \hline \end{array}$$ Vi kan se, at i parametertabellen bruges intercept, svarende til det første niveau af faktoren, og derefter forskelle mellem parametre, hvilket ofte vil være af større interesse end parameterværdierne selv. Det $t$-test, der står i parametertabellen ud for et faktorniveau, bliver således et test for at forskellen i parameterværdi er nul, eller sagt på en anden måde et test for, at de to parameterværdier er ens. På tilsvarende vis er konfidensintervallerne for forskel i parameterværdier. (Bemærk iøvrigt, at i tilfældet med to grupper vil analysen her betragte forskellen $\mu_2-\mu_1,$ hvorimod ttest2 fra afsnit 6.5 betragter $\mu_1-\mu_2.)$Hvis variablen $G$ består af tekststrenge, vil denne i en modelformel automatisk blive opfattet som en faktor, uanset om den er defineret som en faktor eller ej. I python vil intercept i begge tilfælde være det niveau, der kommer først lexikografisk. I MATLAB vil det første niveau, som bruges til intercept, imidlertid afhænge af om $G$ er defineret som en faktor. Hvis $G$ er en faktor, bruges en leksikografisk ordning, og hvis $G$ ikke er en faktor, bruges den første indgang i $G$ til intercept. Bogstavet $T$, der bruges i pythons navngivning i formatet variabelnavn[T.niveau], står for Treatment.

Parametrisering og intercept i python

Hvis man ønsker, at estimationsalgoritmen skal bruge parametriseringen med $\mu_1,\mu_2,\ldots,\mu_k$ i stedet for forskelle i parameterværdierne, kan dette gøres med modelformlen 'x~G-1'. I modelformlen undertrykker "-1" brugen af et intercept. Vi vil generelt udtrykke os på den måde, at vi tester en reduktion fra en model $M_1$ til en model $M_2$, hvis vi tester en hypotese, der bringer os fra model $M_1$ til model $M_2.$ I dette afsnit vil model $M_1$ være den ensidede variansanalysemodel 8.2.3, og model $M_2$ er modellen (8.2.1), hvor alle middelværdierne er ens. For at beregne $F$-testet for denne reduktion skal man benytte funktionen anova$\text{\textunderscore}$lm. Input til denne er output fra to kald af estimationsfunktionen, nemlig output fra analyse af model $M_1$ og output fra analyse af model $M_2.$ Hvis vi betegner de to output med lmUD1 og lmUD2 bliver kaldet (bemærk, at lmUD2 står før lmUD1)

anova$\text{\textunderscore}$lm(lmUD2,lmUD1)

I tilfældet med model $M_2$ fra (8.2.1), hvor alle observationerne har samme middelværdi, foregår analysen med modelformlen 'x~1'. Brugen af anova$\text{\textunderscore}$lm er vist i eksemplet nedenfor. Output fra anova$\text{\textunderscore}$lm er en Testtabel. Denne har 2 rækker og 7 søjler. Strukturen er som følger. $$\begin{array}{rrrrrrr} \hline & \text{df\textunderscore resid} & \text{ssr} & \text{df\textunderscore diff} & \text{ss\textunderscore diff} & \text{F} & \text{Pr(>F)} \\ \hline 0 & - & - & & & & \\ 1 & - & - & - & - & - & -\\ \hline \end{array}$$ Søjlen ssr indeholder $\mathit{SSD}(M)$ for de to modeller, og df$\text{\textunderscore}$resid de tilhørende frihedsgrader. Til beregning af $F$-testet skal vi bruge $s^2(M_1,M_2),$ som fremkommer som $\text{ss\textunderscore diff}/\text{df\textunderscore diff},$ hvor df$\text{\textunderscore}$diff kan beregnes som differensen mellem de to værdier under df$\text{\textunderscore}$resid, og ss$\text{\textunderscore}$diff kan beregnes som differensen mellem de to værdier under ssr (dette beskrives nøjere i afsnit 8.7). Søjlen $F$ indeholder $F$-teststørrelsen $s^2(M_1,M_2)/s^2(M_1),$ og søjlen Pr(>F) angiver den tilhørende $p$-værdi beregnet fra en $F$-fordeling med df$\text{\textunderscore}$diff frihedsgrader i tælleren og den anden indgang i df$\text{\textunderscore}$resid som frihedsgrader i nævneren. For datasættet beskrevet i starten af afsnit 8.2 lader vi $\mathit{bakt}_i$ være bakterietallet for den $i$'te måling og lader $\mathit{metode}_i$ være den tilhørende metode til håndvask. Vi betragter modellen $$\text{Bakt}_i\sim N\big(\mu_{\text{metode}_i},\sigma^2\big),\enspace i=1,\ldots,32,$$ hvor middelværdiparametrene og $\sigma^2$ kan variere frit. Kør følgende kode for at få lavet en parametertabel for modellen.

8.4.1 Parametertabel i ensidet variansanalyse

Eftersom niveauet "antibakspray" kommer først i en leksikografisk ordning, er Intercept i parametertabellen $\hat\mu_{\text{antibakspray}}=37.50.$ Skønnet over forskellen mellem at bruge antibakteriel sæbe (antisaebe) og antibakteriel spray er $\hat\mu_{\text{antisaebe}}-\hat\mu_{\text{antibakspray}}=55.00,$ som står i rækken "metode[T.antisaebe]". I samme række ses, at $p$-værdien er 0.0067 for et $t$-test af, at forskellen i middelværdi er nul (de to middelværdier er ens). Da $p$-værdien er langt under 0.05, tyder data altså på en forskel i de to metoder til håndvask. Vi kan også fra output se, at 95%-konfidensintervallet for forskel mellem de to middelværdier er $[16.5,\,93.5].$ Dette er et bredt interval, hvilket afspejler, at der kun er 8 observationer i hver gruppe og spredningen i bakterietallet fra dag til dag er stort: skønnet over spredningen er $s(M_1)=37.55=\sqrt{1410.1}.$ Parametertabellen indeholder tre $t$-test for forskel i middelværdier. Hvis nu de tre $p$-værdier alle havde været 0.06, skulle vi så konkludere, at data ikke strider mod at alle fire middelværdier er ens ? Svaret er nej, for eksempel kunne $\hat\mu_2$ ligge over $\hat\mu_1$ og $\hat\mu_3$ kunne ligge under $\hat\mu_1,$ og så ville data tyde på en forskel mellem $\mu_2$ og $\mu_3.$ For at teste hypotesen om ens middelværdier $$\mu_{\text{antibakspray}}=\mu_{\text{antisaebe}} =\mu_{\text{saebe}}=\mu_{\text{vand}},$$ benyttes kommandoen anova$\text{\textunderscore}$lm som vist i den følgende kode.

8.4.2 Teste middelværdier ens med anova-funktion

Test dig selv

ForegåendeNæste